Концепция метода конечных элементов и его реализация в прочностных расчетах

Анализ напряженно – деформированного состояния реальных деталей авиационных ГТД требует решения краевых задач механики деформируемого твердого тела. В силу сложности геометрической формы деталей использовать аналитические методы решения таких задач не удается и приходится прибегать к численным методам.

Наиболее распространенным в инженерной практике методом решения прочностных задач стал метод конечных элементов (МКЭ). Идея МКЭ, в основном, состоит в следующем:

– рассчитываемая деталь разбивается воображаемыми поверхностями на большое число конечных элементов простой формы (призм, пирамид, гексаэдров и т.п.), размеры которых значительно меньше размеров детали;

– перемещения материала в любой точке каждого конечного элемента однозначно определяются перемещениями материала в его вершинах (узловых точках) с помощью функций перемещений. Вид функции перемещений может быть линейным, квадратичным, параболическим или любым другим, с таким расчетом, чтобы обеспечить необходимую точность определения перемещений и напряжений внутри элемента;

– заданное с помощью функций перемещений поле перемещений внутри элемента дает возможность выразить эти перемещения внутри элемента через перемещения узлов;

– задача, состоявшая ранее в решении дифференциальных уравнений (как правило – в частных производных), сводится к решению системы алгебраических уравнений и отысканию перемещений в узловых точках;

- перемещения в узлах определяются из условий равновесия в системе конечных элементов под действием внешних сил, приведенных к узловым точкам;

- по найденным узловым перемещениям определяются поля напряжений и деформаций в конечных элементах и деталей в целом.

Соотношения между напряжениями и деформациями, используемые при реализации метода конечных элементов могут быть более сложными, чем закон Роберта Гука, и учитывать анизотропию свойств конструкционных материалов, пластические деформации и явления ползучести.

При моделировании трехмерного напряженного деформированного состояния деталей авиационных двигателей, как правило, используют конечные элементы в виде шестигранника (гексаэдра). Для таких элементов возможно задание пластических свойств конструкционного материала и учет явления ползучести.

Построение конечно – элементной модели деталей – один из наиболее ответственных этапов проведения расчетов методом конечных элементов, определяющий достоверность получаемых результатов.

Конечно – элементная модель детали характеризуется типом применяемых конечных элементов и густотой разбивки ее объемов в конкретных зонах. В одной модели могут быть применены различные типы элементов, выбор которых зависит от цели расчета, сложности геометрии деталей, имеющейся вычислительной техники и опыта исполнителей.

Густота разбивки конечно - элементной модели детали определяется одним общим правилом – в зонах ожидаемой концентрации напряжений сетка конечных элементов должна сгущаться. Рекомендуемый характерный размер элементов в зоне концентрации должен быть примерно на порядок меньше типичного размера самого концентрата. Например, для описания конечно – элементной моделью галтели радиусом 2 мм необходимо применять элементы со стороной размером около 0,2 мм. При построении сеток избегают использования элементов с большим отношением размеров. При моделировании тонкостенных деталей учитывают, что при их изгибе градиент (темп изменения напряжений) по толщине может быть большим (растяжение на одной стороне и сжатие на другой). Поэтому конечно – элементная сетка должна иметь несколько слоев элементов по толщине.

Широкое применение МКЭ в инженерных расчетах началось с появлением мощной вычислительной техники в начале 70 – х годов прошлого века. Уже тогда удавалось успешно моделировать напряженное деформированное состояние и колебания ответственных деталей авиационных двигателей. К тому же времени относится начало развития программных продуктов, позволяющих производить вычисления на основе МКЭ. В настоящее время существуют мощные программные комплексы, позволяющие решать не только прочностные задачи, но и задачи гидро – и аэродинамики, акустики, электромагнетизма, оптимизации и т.д. Наиболее известными из них являются: NASTRAN и ANSYS.