Равномерное приближение

Отличается использованием аппарата полиномов Чебышева, наименее отклоняющихся от нуля в диапазоне [-1; +1] среди всех других полиномов той же степени. Соберем в таблицу несколько первых полиномов Чебышева степени n=1, 2, …., 5.

n	Полином Чебышева	Наибольшее отклонение	Точки наибольших отклонений	Корни полинома
		0,5000	0; ±1	±0,7071
		0,2500	±0,5; ±I	0; ±0,866
		0,1250	0; ±0,7071; ±1	±0,3827; ±0,9239
		0,0625	±0,309; ±0б809; ±1	0; ±0,5878; ±0.9511

Графически эти полиномы выглядят следующим образом (рис. 1.5).

Возможны две методики приближения.

I) Функцию преобразования можно разложить в степенной ряд Тейлора в середине диапазона преобразования :

где

Делаем замену переменных:

Поскольку изменяется в пределах от до , то переменная будет теперь изменяться в диапазоне [-1; +1].

В результате получаем:

Погрешность приближения при линейной номинальной функции преобразования

составляет

Таким образом, мы представили погрешность приближения в форме полинома от переменной в диапазоне ее изменения от –1 до +1. Всегда, уже по внешнему виду функция преобразования, можно судить о том, какой степенью этого полинома можно ограничиться. Во всяком случае, при предварительном анализе можно ограничиться степенью и затем уточнить решение.

Ограничиваясь третьим членом разложения, приведем выражение для к форме, сопоставимой с полиномами Чебышева. Для этого вынесем коэффициент за скобки:

Для того, чтобы стоящей в квадратных скобках полином был действительно полиномом Чебышева, необходимо выполнение следующих условий:

Исходя из этих условий, можно теперь выбирать расчетные значения ВП, входящих в выражение для ФП. Наибольшее значение погрешности схемы получается при этом равным:

Пример. Синусный механизм обладает расчетной функцией преобразования

которая раскладывается в степенной ряд относительно точки следующим образом:

поскольку

Пусть функция преобразования должна иметь вид:

а диапазон преобразования

Первое и третье условия выполняются автоматически. Второе условие приводит к выражению

Полученное решение и является искомым значением расчетного параметра, то есть плеча синусного рычага. Это решение получено из условия равномерного приближения ФП синусного механизма к линейной ФП (в диапазоне ±0,5 мм).

Наибольшее значение погрешности приближения составляет:

или в единицах входной величины

2) Вторая методика приближения не требует предварительного разложения функция преобразования в степенной ряд и основывается на использовании корней полинома Чебышева.

Если решен вопрос о выборе степени аппроксимирующего полинома Чебышева, то погрешность схемы должна обратиться в нуль в точках диапазона, соответствующих корням полинома Чебышева. Поэтому расчетные значения внутренних параметров можно найти из соотношений:

при всех ( - корни полинома).

Пример: Для синусного механизма

Поэтому параметр можно найти из условия равенства значений расчетной и номинальной функций преобразования при =±0,866:

Поэтому

Погрешность приближение составляет при этом: