Уравнения динамики и статики

При проектировании и исследовании САУ необходимо знать уравнения, описывающие их движения. Процессы в САУ описываются дифференциальными, разностными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями, которые называют ее математической моделью. При исследовании САУ на различных этапах математическая модель может быть различной. Начинают исследования САУ с простейшей математической моделью, а затем ее усложняют, учитывая дополнительные связи и влияния. Такой подход объясняется тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования. Математическая модель должна достаточно полно описывать динамику САУ и при этом быть по возможности простой.

В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения, в неявной форме которые могут быть записаны

, (3.1)

или

, где (3.2)

	x, x(i)	- управляемая (выходная) величина и ее производные ;
	g, g(j)	- задающая (входная) величина и ее производные ;
	ai и bj	- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы;
	с и m	- числа, определяющие порядок производных , причем n определяет порядок дифференциального уравнения;
	t	- независимая переменная (время).

Уравнения (3.1) и (3.2) могут быть записаны в явной форме, разрешенные относительно старшей производной (например, (3.2))

.

Данное дифференциальное уравнение в явной форме n-го порядка можно преобразовать в систему n дифференциальных уравнений первого порядка:

путем введения новых неизвестных

Если в дифференциальное уравнение (3.2) входит n неизвестных функций , тогда можно записать систему из n уравнений первого порядка в виде

,

где – переменные, характеризующие состояние системы.

В векторной форме дифференциальное уравнение будет иметь вид

или

,

Широкое применение в ТАУ получила операторная форма записи дифференциального уравнения. Это объясняется тем, что от дифференциального уравнения посредством интегрального преобразования (например, преобразования Лапласа) переходят к операторной форме. Операторное уравнение является алгебраическим и его решение проще, чем дифференциальное. Затем из полученного решения операторного уравнения с помощью обратного преобразования получают решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение (3.1) при нулевых начальных условиях

в операторной форме можно записать

или

,

где - преобразование Лапласа от ;

- преобразование Лапласа от ;

- характеристический многочлен (3.1);

- изображение правой части (3.1);

- параметр преобразования Лапласа.

Операторная форма записи дифференциального уравнения, когда начальные условия по всем переменным равны нулю, совпадает с символической формой, когда , а p – символ дифференцирования. Поэтому для получения операторной формы записи дифференциального уравнения, когда начальные условия нулевые, применяют приемы символической формы.

Уравнение движения САУ в любой форме полностью описывает весь процесс управления, т.е. процесс изменения управляемых величин как в переходном, так и в установившемся режимах.

Под установившимся режимом понимают процесс, при котором регулируемая (управляемая) величина изменяется по закону, определяемому лишь законом изменения задающего воздействия. Установившейся режим САУ, относительно которого рассматривается движение системы в процессе управления, называется исходным.

Переходным режимом называется изменение управляемой величины при переходе САУ из одного в другое установившееся состояние.

Если в установившемся режиме воздействия после их приложения больше не изменяют своих величин во времени, то в САУ устанавливается так называемый статический режим.

Уравнение статики может быть получено из уравнения движения САУ (3.1), если все члены, содержащие производные, приравнять нулю, то есть

или ,

где - коэффициент передачи САУ.

Графическое отображение данной зависимости, т.е. зависимости между выходной x и входной g величинами САУ в статическом режиме, называется статической характеристикой (рис. 3.1).

Рис.3.1. Статические характеристики элементов САУ

Статические характеристики элементов САУ и систем в целом могут быть как линейными (кривая 1, рис. 3.1), так и нелинейными (кривая 2, рис. 3.1). Если характеристика нелинейная, то необходимо учитывать влияние данной нелинейности на динамику САУ.