ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединённых последовательно по отношению к источнику переменного напряжения. Эквивалентная схема последовательного контура как двухполюсника, являющегося обычно частью более сложной цепи, приведена на рис. 1, где L — индуктивность, C — конденсатор, Rk — сопротивление потерь в контуре, — переменное синусоидальное напряжение частотой w в комплексном виде, приложенное к контуру.
Рис. 1
Используя второй закон Кирхгофа для замкнутой цепи, можно записать
, (1)
где — ток в контуре,
(2)
— комплексное сопротивление контура как двухполюсника. Отметим, что комплексная запись синусоидального сигнала U=Umcos(wt+ju) есть где . Реальный сигнал есть действительная часть комплексной записи. Комплексное сопротивление двухполюсника есть отношение комплексных амплитуд напряжения и тока:
, (3)
где , . В нашем случае (рис. 2)
, (4)
. (5)
Рис. 2
Часто вместо параметров Rk, C, L вводят следующие характеристики контура:
— характеристическое сопротивление,
— добротность,
— резонансная частота контура.
Записывая комплексное сопротивление контура через характеристики контура, получим:
. (6)
При частотах, близких к резонансной w ~ w0,
, (7)
где Dw=½w-w0½ — расстройка, сдвиг частоты от резонансной. При w=w0 и wL=1/wC падение напряжения на емкости и индуктивности полностью нейтрализуют друг друга, и комплексное сопротивление становится минимальным и чисто активным —
,
Добротность определяет так называемую полосу пропускания контура 2Dw0=w0/Q. При Dw=Dw0 Z=Rk(2)1/2, т.е. увеличивается в 1,4 раза.
Рассмотрим использование последовательного колебательного контура как четырёхполюсника — цепи с двумя входами и двумя выходами (рис. 3).
Рис. 3
Для синусоидальных сигналов четырехполюсник характеризуется передаточной функцией (коэффициентом передачи по напряжению), являющейся отношением комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе:
, (8)
где .
При этом сопротивление нагрузки Rн должно быть много больше выходного сопротивления четырехполюсника. С другой стороны, сопротивление источника сигнала Rи должно быть много меньше входного сопротивления четырехполюсника либо также включатся в схему четырехполюсника. Рассмотрим передаточную функцию такого четырехполюсника с включенным сопротивлением источника нагрузки. Тогда
(9)
Обычно используют случай r>>Rи+Rк и Rн>r, т. е. << 1. Тогда
, (10)
где R=Rи + Rк + r2/Rн. Таким образом, сопротивление источника суммируется с активным сопротивлением контура, сопротивление нагрузки также вносит дополнительное сопротивление в контур, равное r2/Rн. Эквивалентная схема четырехполюсника представлена на рис. 4.
Рис. 4
Используя те же преобразования, будем иметь:
. (11)
Для частот близких к резонансной w » w0
, (12)
, (13)
где — эквивалентная добротность контура, — полоса пропускания контура.
Рис. 5
Зависимость K(w) называется амплитудно-частотной характеристикой четырехполюсника, а j(w) называется фазочастотной характеристикой (рис. 5). Коэффициент передачи на резонансной частоте равен Кmax=Qэкв. При Dw » Dw0 K(w)=Qэкв/(2)1/2 =0.7Qэкв. На резонансной частоте сдвиг фаз выходного и входного сигнала равен нулю, на границе полосы пропускания ±p/4. Отметим, что ввиду хотя и слабой, но зависимости числителя выражения K(iw) от частоты, за счет множителя w0/w максимум K(w) несколько смещен относительно резонансной частоты w0:
. (14)
Это выражение можно получить, дифференцируя выражение (11). Однако это смещение при реальных Q>10 так незначительно, что практически незаметно. На частотах, сильно отличающихся от резонансной частоты, асимметрия K(w) становится заметнее.
2.2. Параллельный колебательный контур.
Цепь, состоящая из индуктивности и емкости, соединенных параллельно друг с другом и источником напряжения, называется параллельным колебательным контуром (рис. 6).
Рис. 6
Найдем комплексное сопротивление контура как двухполюсника:
или . (15)
Вводя здесь также
, ,
и пренебрегая вторым членом в числителе, т. к. при частотах, близких к резонансной, получим
. (16)
На резонансной частоте w0=w комплексное сопротивление максимально и чисто активно. Вспомним, что комплексное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте минимально.
Рассмотрим передаточную функцию параллельного контура как четырехполюсника, вводя в его цепь сопротивление источника сигнала Rи и сопротивление нагрузки Rн (рис. 7).
Рис. 7
. (17)
Подставляя в это выражение сопротивление контура, получим
. (18)
Или
, (19)
где . Эквивалентная добротность контура равна
(20)
где Q=r/Rк — добротность самого контура. Как видно, все проводимости, подключенные параллельно контуру, в том числе и проводимость источника сигнала, суммируются и уменьшают добротность контура. Частотная зависимость передаточной функции совпадает с передаточной функцией последовательного контура, и обе схемы используются в качестве узкополосного фильтра частот. Отличие заключается в разной зависимости эквивалентной добротности от сопротивления источника сигнала. При Rи<<r необходимо использовать последовательный контур. При Rи>>r — параллельный. При Rи»r используют параллельный контур, но последовательно источнику ставят дополнительное сопротивление. Величина добротности самого контура зависит от его элементов, величины нагрузки и наличия сердечника. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики параллельного контура получаются преобразованием выражения (19) и равны
, (21)
. (22)
Коэффициент передачи на резонансной частоте равен Kmax=K0, а на границах полосы пропускания 0.7K0. Фазочастотная характеристика имеет инверсный вид по сравнению с последовательным контуром. С увеличением частоты от нуля до частот гораздо больших резонансной фаза изменяется от p/2 до -p/2.
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 2708;