Оценка параметров линейной парной регрессии

Линейная парная регрессия описывается уравнением:

, (2.6)

согласно которому изменение Δy переменной y прямо пропорционально изменению Δx переменной x (Δy = b·Δx).

Для оценки параметров a и b уравнения регрессии (2.6) воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). При определенных предположениях относительно ошибки МНК дает наилучшие оценки параметров линейной модели

. (2.7)

Согласно МНК, выбираются такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений (при тех же значениях фактора ) минимальна, т. е.

(2.8)

С учетом вида линейной парной регрессии (2.6) величина S является функцией неизвестных параметров а и b

. (2.9)

Следовательно, оптимальные значения параметров а и b удовлетворяют условиям

; . (2.10)

Выполняя соответствующие вычисления, получим для определения параметров а и b следующую систему уравнений

откуда после некоторых преобразований получается система нормальных уравнений метода наименьших квадратов

(2.11)

Используя соотношения , , , из (2.8) получим

(2.12)

Откуда следуют следующие выражения для определения параметров а и b

, . (2.13)

Формулу для параметра b можно представить следующим образом

(2.14)

Рассмотрим интерпретацию параметров уравнения линейной регрессии.

Коэффициент b при факторной переменной x показывает насколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на единицу. Например, допустим, что зависимость между затратами (тыс. руб.) и объемом выпуска продукции описывается соотношением

y = 35000+0,58·x.

В этом случае увеличение объема выпуска на 1 единицу потребует дополнительных затрат на 580 рублей.

Что касается свободного члена a в уравнении (2.6), то в случае, когда переменная x представляет собой время, он показывает уровень явления в начальный момент времени. В других случаях, параметр a может не иметь экономической интерпретации.