Взаємодія електричних зарядів. Закон Кулона.

Кулон експериментально встановив закон взаємодії електричних зарядів. Закон Кулона справджується для точкових зарядів. Під точковим зарядом розуміють заряджене тіло, розміри якого досить малі порівняно з іншими зарядами. Вивчаючи взаємодію заряджених тіл за допомогою крутильних терезів, Кулон встановив: величина сили взаємодії двох точкових зарядів прямо пропорційна добутку величин цих зарядів і обернено пропорційна квадратові відстані між ними, тобто:

(2.1)

де k– коефіцієнт пропорційності.

e- діелектрична проникність середовища,

- електрична стала..

Кулонівські сили – центральні, тобто вони спрямовані вздовж прямої, яка сполучає точкові заряди. Однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються ( рис. 2.1).

З цього закону випливає, що за одиницю електричного заряду (Кулон - Кл) вважають такий точковий заряд, який діє у вакуумі на такий самий заряд, розміщений на відстані 1 м з силою 9×10⁹ Н.

2.2 Напруженість електричного поля.

Графічне зображення електричного поля.

Кожний електричний заряд завжди змінює властивості простору, який його оточує, створюючи в ньому електричне поле. Це поле проявляється таким чином, що при вміщенні в ньому в будь-якій точці електричного заряду на нього буде діяти сила. Будь-яка точка електричного поля характеризується напруженістю і потенціалом j.

Напруженість електричного поля є його силовою характеристикою, оскільки вона чисельно дорівнює силі , яка діє на одиничний додатній точковий заряд, розміщений в даній точці поля. Напрям вектора в даній точці простору співпадає з напрямком сили , яка діє на додатній пробний заряд, вміщений у цю точку (рис. 2.2а).

, (2.2)

Якщо електричне поле створюється нерухомим точковим зарядом q, то напруженість поля в точці, яка віддалена від цього заряду на відстань r, згідно з (1) і (2) дорівнюватиме:

(2.3)

Вектор завжди напрямлений вздовж радіальної прямої, яка проходить через заряд q і дану точку поля: якщо заряд q додатній, то вектор напрямлений від заряду, а коли заряд qвід’ємний – до заряду, як показано на (рис. 2.2 (б)) і (рис. 2.2 (в)).

Напруженість електричного поля створена системою зарядів q₁; q₂; … q_n дорівнює векторній сумі напруженостей полів, які створював би кожний із зарядів зокрема в даній точці поля:

(2.4)

Останнє твердження називається принципом суперпозиції електричних полів, який дає можливість визначати напруженість електричного поля будь-якої системи зарядів.

Електричне поле можна графічно зобразити за допомогою ліній напруженості, які називаються силовими лініями. Їх проводять таким чином, щоб дотична до них у кожній точці співпадала з напрямом вектора . Силові лінії електричного поля починаються на додатному заряді і закінчуються на від’ємному ( рис. 2.3 ) або радіально розходяться в безмежність.

Рис. 2.3

Фізична величина, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії, яку має одиничний додатний заряд, вміщений в певну точку електростатичного поля, називається потенціалом поля в цій точці. Потенціал є енергетичною характеристикою поля:

(2.5)

В полі точкового заряду q потенціальна енергія пробного заряду q_+npвизначається наступним співвідношенням:

(2.6)

Якщо поле створюється додатним зарядом, то його потенціальна енергія W_п>0, отже j>0, а коли від’ємним - то W_п<0 і j<0. Із виразів (2.5) і (2.6) для поля точкового заряду знаходимо:

(2.7)

Потенціал електростатичного поля створеного системою зарядів, в довільній точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів в цій точці:

(2.8)

Із виразу (2.5) випливає, що потенціальна енергія пробного додатного заряду:

(2.9)

Коли пробний заряд перемістити з однієї точки поля в іншу, то матимемо роботу сил електричного поля, яка виконується при переміщенні цього заряду:

(2.10)

Із виразу (2.7) видно, що потенціал точкового заряду є функцією відстані від заряду, який створює поле, до точки, в якій визначається потенціал. Геометричне місце точок однакового потенціалу називають еквіпотенціальною поверхнею. Лінії напруженості електричного поля завжди перпендикулярні до еквіпотенціальної поверхні (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Напруженість електричного поля і потенціал jзв’язані

співвідношенням:

(2.11)

(знак „-“ вказує на те, що напрям вектора збігається з напрямом зменшення потенціалу).

Проекції вектора на осі координат мають вигляд:

(2.12)

Результуючий вектор дорівнює:

(2.13)

де , , – одиничні вектори, напрямлені по осях координат.

Елементарна робота переміщення заряду в електричному полі на відстань дорівнює:

(2.14)

Тоді робота переміщення пробного заряду з точки 1 в точку 2 (рис. 2.5), в яких потенціали будуть відповідно j₁ і j₂, визначаються співвідношенням:

(2.15)

З рівняння (2.15) випливає:

(2.16)

Якщо пробний заряд переміщується в електричному полі по замкнутій траєкторії і повертається у вихідну точку, то j₁= j₂, і рівняння (2.16) можна переписати:

(2.17)

Співвідношення (2.17) справедливе тільки для електростатичного поля, а вираз називається циркуляцією вектора напруженості вздовж замкнутого контуру. Отже, в електричному полі циркуляція вектора напруженості вздовж замкнутого контуру дорівнює нулю.

2.3.Теорема Остроградського-Гауса та її застосування

Напруженість електростатичного поля зручно представити через густину силових ліній, що пронизують елементарну ділянку поверхні, розміщену перпендикулярно до цих ліній (рис.2.6 ).

Рис. 6.

З останнього рівняння випливає:

(2.18)

Величину вектора dФ_Еназивають потоком вектора напруженості через елементарну площадку dS. З рівняння (2.8) випливає, що потік вектора напруженості Ф_Е через поверхнюS дорівнює:

Ф_Е= (2. 19)

Згідно з теоремою Остроградського-Гауса, потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню S дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які обмежені цією поверхнею ( Рис.2.7 ), поділеній на електричну постійну e₀:

(2.20)

Теорема Остроградського – Гауса використовується для розрахунку електростатичних полів, створених зарядженими тілами найрізноманітніших конфігурацій.

(2.20)

Розглянемо для прикладу, розрахунок електростатичного поля, створеного нескінченно довгим, рівномірно зарядженим циліндром з радіусом Rі з лінійною густиною електричних зарядів (рис.2.8).

В ролі замкненої поверхні, що оточує цей циліндр, візьмемо коаксіальний циліндр радіусом r і висотою h. Повний потік вектора напруженості буде дорівнювати потоку тільки через бічну поверхню замкнутого циліндра, оскільки силові лінії електричного поля не перетинають площі основ цього циліндра (рис. 2.8).

. (2.21)

Враховуючи, що в нашому випадкуE_n= E а отримаємо , або . Звідси

. (2.22)

Різниця потенціалів між двома точками, які знаходяться в одній площині на відстанях r₁ ir₂ від осі зарядженого циліндра, з (2.11):

. (2.23).

2.4 Електроємність провідника

Здатність провідника накопичувати електричні заряди характеризується фізичною величиною, яка називається його електроємністю. Електроємність провідника визначається його геометричними розмірами, діелектричною проникливістю середовища, в якому знаходиться цей провідник а також присутністю інших провідників. Електрична ємність відокремленого провідника ( провідника, розміщеного вдалині від інших провідників ) дорівнює відношенню величини заряду провідника до його потенціалу

. (2.24)

Електроємністю відокремленого провідника називається фізична величина, яка вимірюється зарядом, потрібним для зміни його потенціалу на одиницю. Електроємність відокремленої кулі:

де R–радіус кулі; ε– діелектрична проникливість середовища, в якому знаходиться куля. Електрична ємність навіть досить габаритних провідників є незначною. Крім цього на її величину впливають сторонні тіла. Тому для одержання великих електроємностей в малих об’ємах широко використовуються електричні прилади, що називаються конденсаторами. Найпростішим варіантом конденсатора є відповідної форми два провідники – обкладки, розділені шаром діелектрику. Електричне поле конденсатора повністю локалізоване між його обкладками і тому на нього не впливають зовнішні поля. На обкладки подаються рівні за величиною і протилежні за знаком електричні заряди.

Електрична ємність конденсатора визначається за формулою

де q – величина заряду на одній з обкладинок конденсатора; U–різниця потенціалів між обкладками. Якщо обкладками є дві металеві пластинки, між якими знаходиться тонкий шар діелектрика, то такий конденсатор називається плоским.

На основі теореми Остроградського-Гауса можна легко довести, що ємність плоского конденсатора дорівнює:

, (2.25)

де e₀ – електрична стала, e₀=8,85^.10^-12 Ф/м;

e- відносна діелектрична проникливість середовища, що розділяє пластини конденсатора; d – віддаль між пластинами.

2.5 Заряджання і розряджання конденсатора.

Заряджання і розряджання конденсатора пов’язанні зі зміною величини заряду на його обкладинках. Під час заряджання і розряджання конденсатора через опір ( Рис.2.9) зміна заряду на обкладинках і різниці потенціалів між ними відбувається не миттєво, а за певний скінчений проміжок часу.

Розглянемо процеси заряджання і розряджання конденсатора через опір і виведемо відповідні формули, які встановлюють залежність цих процесів від параметрів електричного кола .

Заряджання конденсатора.

Розглянемо електричне коло показане на рис.2.9. Воно містить конденсатор з ємністю С, резистор з опором R і джерело постійного струму з Е.Р.С. . Будемо вважати, що до моменту вмикання ключа, конденсатор не заряджений. При вмиканні ключа К в колі з'явиться струм, спричинений заряджанням конденсатора. При нагромадженні заряду на обкладинках конденсатора , між ними виникне різниця потенціалів

яка з плином часу буде наростати. Встановимо закон зміни різниці потенціалів від часу при зарядці конденсатора. Застосуємо закон Ома

ε (2.26)

для електричного кола , показаного на рис.1, при замкнутому ключі К. Оскільки , то

. (2.27)

З рівнянь (2.26) і (2.27) отримаємо диференціальне рівняння

. (2.28)

Розділивши в цьому рівнянні змінні

(2.29)

і проінтегрувавши його, отримаємо:

З початкових умов , визначимо постійну інтегрування . Тоді

. (2.30)

Після потенціювання цього виразу отримаємо

. (2.31)

Звідси видно, що при , а при напруга на конденсаторі асимптотично наближається до Е.Р.С. джерела.Підставивши вираз (2.31) у (2.26), отримаємо залежність струму заряджання від часу

. (2.32)

З рівняння (2.32) видно, що максимальне значення струм заряджання має в початковий момент часу і з плином часу воно зменшується, асимптотично наближаючись до нуля.

Використавши співвідношення (2.31) і (2.32), отримаємо закон зміни заряду на конденсаторі під час заряджання:

(2.33)

Заряджання конденсатора.

Нехай конденсатор з ємністю С заряджений до різниці потенціалів . Здійснимо розряджання через опір R, так як це показано на рис.2.10.

Рис. 2.10

Закон Ома при розряджанні конденсатора запишемо у вигляді

. (2.34)

Враховуючи (2.27), запишемо

. (2.35)

Розділимо змінні в цьому диференціальному рівнянні

і після його інтегрування отримаємо:

. (2.36)

З початкових умов , ,отримаємо, що .

В результаті рівняння (2.36) набере вигляду

і після його потенціювання

. (2.37)

В процесі розряджання конденсатора напруга на ньому зменшується і асимптотично наближається до нуля. Поділивши обидві частини рівняння (2.37) на величину опору R, згідно з (2.34), отримаємо:

, (2.38)

де початкове значення сили струму.

Оскільки , то з врахуванням (2.37) а також (2.38) отримаємо закон зміни заряду конденсатора при розряджанні:

(2.39)

З формули (2.39) видно, що при

, (2.40)

де .

Час , протягом якого заряд зменшується в е= 2,71 разів, називається часом релаксації. Отже час релаксації в електричному колі, що містить ємність С і опір R