Деление отрезка в заданном отношении.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х₁;у₁)и B(x₂;y₂) в заданном отношении l > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что

Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении l, если

. (1)

Но т.е. и т.е. Уравнение (1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем

т.е. (2)

т.е. (3)

Формулы (2) и (3) называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при l=1,т.е. если АМ=МВ, то они примут вид , . В этом случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если l = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если l < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (l¹ -1 , т. к. в противном случае т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Пример 1. Даны точки А (-3, 1) и В (2, 4). В каком отношении ось Оy делит отрезок АВ?

Решение.Пусть ось Оy пересекает отрезок АВ в точке С.

Ее координаты ( 0, у). Координаты концов отрезка

Пример 2 Найти координаты центра масс треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А (-4, -2); В (2, 0); С (1, 3).

Решение. Искомая точка лежит на пересечении его медиан. Найдем координаты точки D - середины стороны АВ:

Известно, что медианы треугольника пересекаются в точке М, которая делит медиану AD в отношении1/2

Следовательно, .