Гальваномагнитный эффект Холла

Предположим, что в пластинке полупроводника, находящейся в магнитном поле, идет ток, обусловленный движением только электронов (рис.4.14, а).

Рис.4.14. Возникновение э.д.с. Холла в полупроводнике с электропроводностью; n-типа (а, в) и p-типа (б, г)

Тогда сила Лоренца будет смещать движущиеся электроны к левой грани пластинки полупроводника. Направление смещения определяется направлением силы Лоренца, т. е. векторным произведением

(4.7)

с учетом знака носителей, или правилом левой руки, относящимся к техническому направлению тока. В результате смещения движущихся электронов между боковыми гранями пластинки полупроводника возникает э.д.с. Холла.

В полупроводнике с электропроводностью р-типа при том же техническом направлении тока вектор скорости дырок направлен противоположно вектору скорости электронов, знак носителей заряда также другой. Поэтому сила Лоренца (4.7) действует на дырки в ту же сторону, смещая их также к левой грани пластинки полупроводника (рис.4.14, б). Полярность э.д.с. Холла при этом получается другой.

Накопление носителей заряда у боковой грани пластинки полупроводника прекратится, когда сила Лоренца уравновесится силой холловского электрического поля. При перпендикулярном направлении напряженности магнитного поля к поверхности пластинки полупроводника условием такого динамического равновесия будет равенство:

(4.8)

Считая холловское электрическое поле однородным и учитывая геометрические размеры пластинки полупроводника, можно записать для э.д.с. Холла, т. е. для поперечной разности потенциалов между боковыми гранями пластинки полупроводника с электропроводностью p-типа:

(4.9)

Значение скорости дырок можно определить из формулы для тока:

(4.10)

- площадь поперечного сечения пластины;

- ширина пластинки;

- толщина пластинки.

Тогда

(4.11)

где Х = 1/(qp) — коэффициент Холла для полупроводника с электропроводностью р-типа.

Выражение (4.11) получено в предположении, что скорости у всех носителей заряда одинаковые, в действительности носители заряда в полупроводнике распределены по скоростям. Это распределение зависит от преобладающего механизма рассеяния носителей в конкретном полупроводнике. Поэтому более точное значение коэффициента Холла отличается от имеющегося в выражении (4.11) множителем А:

(4.12)

Величина множителя А находится в диапазоне от 1 до 2 и зависит от механизма рассеяния носителей заряда. Так, для вырожденного полупроводника А = 1, для полупроводника с преобладающим рассеянием носителей на тепловых колебаниях кристаллической решетки А = 1,18, для полупроводника с преобладающим рассеянием на ионизированных примесях А = 1,93.

Для полупроводника с электропроводностью n-типа полярность э.д.с. Холла противоположна. Поэтому коэффициент Холла для такого полупроводника имеет другой знак:

(4.12.а)

В полупроводниках с приблизительно равными концентрациями электронов и дырок (например, в собственных полупроводниках) расчет коэффициента Холла получается более сложным:

(4.13)

После возникновения холловской напряженности электрического поля и установления динамического равновесия между силой Лоренца и силой холловского электрического поля все носители заряда, имеющие скорость V, будут двигаться по прямолинейным траекториям в соответствии с направлением внешнего электрического поля Е (рис. 4.14, в и г). При этом направление вектора суммарного электрического поля

(4.14)

отличается от технического направления вектора тока на некоторый угол φ (рис.4.14,в и г), который называют углом Холла. Величину угла Холла определяют по формуле

(4.15)

Холловская напряженность электрического поля в полупроводнике с электропроводностью p-типа, с учетом (4.11),

(4.16)

Напряженность в пластинке полупроводника от внешнего источника питания.

(4.17)

Поэтому

(4.18)

Очевидно, что для полупроводниковой пластинки с электропроводностью n-типа получится аналогичное соотношение между углом Холла, подвижностью электронов и величиной магнитной индукции.

При малых магнитных полях и, следовательно, при малых углах Холла

(4.18.а)

или

(4.19)

С учетом конечной длины пластины l, подводимая мощность определяется равенством:

(4.20)

С учетом максимально допустимой температуры пластины, максимально допустимый ток

(4.21)

где S — площадь поверхности пластины (верх, низ и 2 боковые грани);

β — коэффициент теплоотдачи;

ΔТ — разность температур между максимально допустимой и температурой окружающей среды.

Если пренебречь площадью боковых граней и считать, что

S = 2аl,

максимально допустимый ток через пластину составит:

(4.22)

Максимальная э.д.с. Холлапри заданной индукции магнитного поля возникает в пластине при прохождении через нее максимально допустимого тока и составляет:

(4.22)

С учетом (4.12), (4.20) для проводника р-типа:

(4.23)

э.д.с. Холла определяется как подвижностью, так и концентрацией носителей.