Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Произведение есть проекция площадки на плоскость Оху (см. рис.); аналогичное утверждение справедливо и для произведений и :

, ,

Пусть поверхность Ф такова, что всякая прямая, параллельная оси Oz пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверхности можно написать в виде z = z(x, y). Обозначая через D проекцию поверхности Ф на плоскость Оху, получим

При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Аналогично вычисляются интегралы

,

Второй способ (по разработке Павельева_Поверхн_Интегралы_кр_Версия.pdf).

Поверхностный интеграл второго рода от непрерывного во всех точках поверхности векторного поля G(x, y, z) = P(x, y, z)i+ Q(x, y, z)j+ R(x, y, z)k по ориентированной поверхности Ф (поток векторного поля Gчерез поверхность Ф) будем вычислять по формуле:

(3)

где n(u, v) − главная нормаль к поверхности Ф, соответствующая заданной стороне поверхности.

Если поверхность задана явно, например, уравнением z = z(x, y), , то будем считать, что поверхность задана параметрическими уравнениями (с параметрами х, у): x = x,у = у, z = z(x, y), . При этом главная нормаль равна , скалярное произведение равно

Для вычисления поверхностного интеграла второго рода воспользуемся формулой (полученной с использованием (3))