Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное)давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности – отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R (Рис.10.3),от которой отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=Rsinα.

Рис.10.3. На каждый бесконечно малый элемент длины Δl этого контура действует сила поверхностного натяжения ΔF=σΔl, касательная к поверхности сферы. Разложив ΔF на два компонента (ΔF₁ и ΔF₂), видим, что геометрическая сумма сил ΔF₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих ΔF₁:

F=∑ ΔF₁= ∑ΔF sin α=∑σΔl r/R= ∑Δl = σr/R 2πr.

Разделив эту силу на площадь основания сегмента πr², вычислим избыточное (добавочное) давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

Δр =F/S= 2σ πr²/R πr ²=2σ/R. (10.4)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

Δр= -2σ/R.

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Δр.

Формулы являются частным случаемформулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

Δр=σ(1/R₁+1/R₂), (10.5)

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно-перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

Для сферической искривленной поверхности (R₁=R₂=R) выражение (10.5) переходит в записанное ранее (10.4), для цилиндрической (R₁=R и R₂=∞) - избыточное давление

Δp=σ/R.

Для плоской поверхности (R₁=R₂=∞) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.