Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеаль­ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения) труб­ку тока, ограниченную сечениями S₁и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S₁ ско­рость течения v₁, давление р₁и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Ана­логично, в месте сечения S₂скорость течения v₂, давление p₂ и высота сечения h₂. За малый промежуток времени Δt жид­кость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S′₁ и S′₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W₂– W₁ идеаль­ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще­нию массы т жидкости:

W₂– W₁= A, (6.3)

где W₁и W₂ - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S₁и S₂соответ­ственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жид­кости, заключенной между сечениями S₁и S₂,за рассматриваемый малый проме­жуток времени Δt. Для перенесения массы т от S₁ до S'₁жидкость должна переме­ститься на расстояние l₁ = υ₁Δt и от S₂ до S'₂- на расстояние l₂ = υ₂Δt. Отметим, что l₁и l₂настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, припи­сывают постоянные значения скоро­сти υ, давления р и высоты h. Следова­тельно,

А = F₁l₁ + F₂l₂, (6.4)

где F₁ = p₁S₁и F₂ = - p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо­ложную течению жидкости; рис.6.3).

Полные энергии W₁и W₂будут склады­ваться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

W₁ = mυ₁²/2 + mgh₁, (6.5)

W₂= mυ₂²/2 + mgh₂. (6.6)

Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим

mυ₁²/2 + mgh₁ + p₁S₁υ₁Δt = mυ₂²/2 + mgh₂ + p₂S₂υ₂Δt . (6.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается посто­янным, т. е.

ΔV = S₁υ₁Δt = S₂υ₂Δt.

Разделив выражение (6.5) на ΔV, по­лучим

ρυ₁²/2 + ρgh₁ + p₁ = ρυ₂²/2 + ρgh₂ + p₂,

где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо­жем записать

ρυ²/2 + ρgh + p = const. (6.8)

Выражение (6.8) называется уравне­нием Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти. Оно хорошо выполняется и для реаль­ных жидкостей, внутреннее трение кото­рых не очень велико.

Величина р в формуле (6.8) называ­ется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ²/2 - динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет со­бой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁= h₂) выражение (6.8) принимает вид

ρυ²/2 + p = const, (6.9)

где p + ρυ²/2называется полным давле­нием.

Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а ста­тическое давление больше в более широ­ких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, устано­вив вдоль трубы ряд манометров(рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в мано­метрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связа­но со скоростью движения жидкости (га­за), то уравнение Бернулли позволяет из­мерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про­тивоположные концы которых присоедине­ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой - статическое (р). Ма­нометром измеряется разность давлений:

р₀ – p = ρ₀gh, (6.10)

где ρ₀- плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статическо­го давлений равна динамическому давле­нию:

р₀ – p = ρυ²/2 . (6.11)

Из формул (6.10) и (6.11) получаем иско­мую скорость потока жидкости:

υ = . (6.12)

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно ат­мосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоро­стью. В этом месте давление меньше ат­мосферного. Это давление устанавливает­ся и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекаю­щей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид­костью, в боковой стенке которого на не­которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

ρυ₁²/2 + ρgh₁ + p₁ = ρυ₂²/2 + ρgh₂ + p₂.

Так как давления р₁и р₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p₁ = p_2, то уравнение будет иметь вид
υ₁²/2 + gh₁ = υ₂²/2 + gh₂.

Из уравнения неразрывности (6.2) следу­ет, что υ₂/υ₁ =S₁/S₂, где S₁и S₂ - площа­ди поперечных сечений сосуда и отвер­стия. Если S₁>> S₂, то членом υ₁²/2 можно пренебречь и

υ₂²= 2g(h₁ – h₂) = 2gh,

υ₂ = . (6.13)

Это выражение получило название форму­лы Торричелли.