Матрицей системы (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы.

Если присоединить к матрице столбец свободных членов, то получится матрица , которая называется расширенной матрицей системы (1).

Из определения матрицы системы А и расширенной матрицы ясно, что их ранги либо равны между собой, либо ранг на единицу больше, чем

Приведем без доказательства одну из главных теорем линейной алгебры.

Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы A, т.е. когда .

Следствие.Если система совместна и ранг матрицы системы равен числу неизвестных n , то система имеет единственное решение.

Перейдем теперь к общему случаю (1), но только пока при условии, что , то есть при условии, что количество уравнений системы равно количеству ее неизвестных. Иначе говоря, перейдем к квадратным системам произвольного размера n´ n (n = 3, 4,…), то есть к системам n-го порядка вида

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +… + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +… + a_2nx_n = b₂(2)

- - - - - - - - - - - - - - -

a_n1x₁ + a_n2x₂ +… + a_nnx_n = b_n

Заметим, что при небольших n (при небольших значениях порядка системы (2)) неизвестные системы можно обозначать не (x₁; x₂; …x_n), а, например, (x; y; z;…). Но это, естественно, не принципиально.

Систему (2) произвольного порядка n, как и простейшую систему второго порядка, наиболее естественно и просто решать методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). А именно, из первого уравнения системы выражаем какую-либо неизвестную, например x₁, через остальные неизвестные (x₂; x₂; …x_n)

и подставляем ее во все остальные уравнения системы (второе, третье, … n-е). В итоге во всех уравнениях системы, начиная со второго, будет уже на одну неизвестную (неизвестную x₁) меньше. Далее, из второго уравнения выражаем следующую неизвестную x₂ через оставшиеся неизвестные (x₃; x₄; …x_n)

и подставляем ее во все ниже лежащие уравнения (третье, четвертое, … n-е). Ну и так далее до конца. В итоге, если не возникнет сбоев в этой схеме (каких – скажем ниже) мы преобразуем систему (2) к следующему равносильному треугольному виду:

(3)

Преобразование квадратной системы (2) к равносильной ей треугольной системе (3) называется прямым ходом метода Гаусса.

Примечание. Мы указали лишь идею прямого хода метода Гаусса, цель которого – последовательно исключение неизвестных из уравнений системы. На практике же этой цели можно добиться и несколько иначе, причем значительно проще.

Например, чтобы исключить неизвестную x₁, содержащуюся в первом уравнении системы (2), из второго уравнения, можно обе части первого уравнения разделить на a₁₁, затем обе его части умножить на –a₂₁, и после этого первое уравнение сложить со вторым. В итоге неизвестная x₁ во втором уравнении исчезнет (исключится). Аналогично можно исключить неизвестную x₁ и из остальных уравнений системы (третьего, четвертого, …, последнего). Далее, по аналогичной схеме, с помощью второго уравнения можно исключить из всех нижележащих уравнений неизвестную x₂. И так далее до конца. В итоге мы опять придем к треугольной системе типа (3), но только существенно быстрее.

Кстати, неизвестную, исключаемую из других уравнений системы, часто называют опорной неизвестной, а уравнение, содержащее эту опорную неизвестную и с помощью которого исключается эта опорная неизвестная из других уравнений системы, называется опорным уравнением. И опорное уравнение, и опорную неизвестную удобно, для наглядности, подчеркивать.

И еще одно существенное замечание: в качестве опорной неизвестной, выбираемой на каждом этапе прямого хода метода Гаусса, удобно выбирать ту, перед которой нет числового коэффициента – только знак (+) или (–) ( другими словами, она берется с коэффициентом (+1) или (-1)). В этом случае треугольная система типа (3) будет иметь другой порядок расположения неизвестных, что, конечно, не принципиально.

Пойдем далее. Будем считать, что мы (в той или иной форме) реализовали прямой ход метода Гаусса, сбоев в этой работе не было (осуществился так называемый стандартный вариант), и нам удалось привести исходную систему (2) к равносильной системе типа (3) (или такой же, как (3), системе, только с другим порядком расположения неизвестных). После этого система (3) решается уже просто с помощью обратного хода метода Гаусса.

Суть его в следующем. Последнее уравнение сразу дает значение неизвестной . Далее, из предпоследнего уравнения, используя найденное значение , вычисляем значение . Потом из третьего снизу уравнения, используя найденные и , находим . Двигаясь таким образом снизу вверх и дойдя до первого уравнения, последовательно определим все неизвестные системы (3), а значит, и неизвестные равносильной ей системы (2). Набор найденных значений всех неизвестных оказывается единственным, а значит, единственным окажется и полученное в итоге решение {x₁; x₂; …x_n} системы (2).

Все это будет в стандартном варианте. Но возможны и два варианта нестандартных, когда появляются сбои в изложенной выше схеме.

Нестандартный вариант 1. На каком-то этапе осуществления прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы (или даже в нескольких уравнениях) могут исчезнуть (сократиться) все неизвестные, кроме свободных чисел, которые образуют неверное равенство типа , и т.д. Так как в этом уравнении нет неизвестных, то и невозможно сделать его верным за счет какого-то подбора неизвестных. Система, содержащая хотя бы одно такое уравнение, не имеет решений. А значит, не будет иметь решений и исходная система (2).

Нестандартный вариант 2. Этот вариант, в отличие от первого нестандартного варианта, будет иметь место, если на каком-то этапе прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы все его члены сократятся, и останется верное числовое равенство . Это, кстати, может случиться и с несколькими уравнениями системы. Отбросив их, мы получим систему, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных (получим так называемую недоопределенную систему). Кстати, если в системе окажется два или более одинаковых уравнения, то отбросив из дублирующих друг друга уравнений все, кроме одного, мы также получим недоопределенную систему.

Завершив прямой ход метода Гаусса в недоопределенной системе, в последнем уравнении системы мы будем иметь не одну неизвестную (как это получается в стандартном варианте (3)), а две или более. Это последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений, ибо в нем все неизвестные, кроме одной, можно задать произвольно (это – так называемые свободные неизвестные), а оставшаяся неизвестная (связанная) уже однозначно выражается через свободные неизвестные. После этого в процессе обратного хода метода Гаусса можно однозначно выразить через свободные неизвестные и остальные неизвестные системы (остальные связанные неизвестные). В итоге мы получим бесчисленное множество решений исходной системы.

Итак, подведем итог. Квадратные системы линейных уравнений вида (2) при любом их порядке n (n = 2,3,…) могут в принципе:

1) Иметь единственное решение (стандартный вариант).

2) Не иметь решений (нестандартный вариант 1).

3) Иметь бесчисленное множество решений (нестандартный вариант 2).

Стандартный вариант на практике встречается как правило, нестандартные – как исключения.

Пример 3. Решить квадратную систему 3-го порядка

Решение. Применим метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) по схеме, указанной в примечании выше. Опорное уравнение и опорную неизвестную на каждом шаге прямого хода этого метода будем подчеркивать.

а) Прямой ход:

б) Обратный ход:

Итак, у данной системы оказалось единственное решение ( ; ; ). Если подставить эти значения неизвестных в уравнения исходной системы, то можно убедиться в том, что все уравнения превращаются в верные числовые равенства. То есть решение системы найдено верно.

Пример 4. Решить систему

Решение.

а) Прямой ход метода Гаусса:

По второму уравнению получившейся системы ясно, что система не имеет решений. Это и отмечено значком («нет решений»).

Пример 5. Решить систему

Решение. Данная система 3-го порядка однородная, так как столбец ее свободных членов состоит из одних нулей. Значит, по крайней мере, одно решение она заведомо имеет – это тривиальное решение ( ; ; ). Поищем возможные другие ее решения. Применим метод Гаусса.

а) Прямой ход:

б) Обратный ход:

Таким образом, у системы оказалось бесчисленное множество решений. В их число (при ) входит и тривиальное решение ( ; ; ).

Вопрос о квадратных системах линейных уравнений мы исчерпали. Перейдем, наконец, к общему случаю (1), когда в системе любое число m уравнений и любое число n неизвестных, причем, вообще говоря, . То есть перейдем к так называемым прямоугольным системам. Естественно, следует рассмотреть и случай , и случай .

Случай m>n (количество уравнений больше количества неизвестных). Такие системы называются переопределенными. Они, как правило, не имеют решений. Но, как исключение, они могут иметь единственное решение и даже бесчисленное множество решений. Проиллюстрируем это на примере трех уравнений с двумя неизвестными.

(4)

Если в этой системе отбросить какое-то (любое) уравнение, то получим квадратную систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Такая система, как мы знаем, как правило, имеет единственное решение (x; y). Но третье (отброшенное) уравнение при этих (x; y) вряд ли удовлетворится, если только оно не является следствием двух других уравнений. А значит, как правило, переопределенная система (4) из трех уравнений не будет иметь решений. Но если все же отброшенное уравнение системы (4) является следствием двух оставшихся, то тогда каждое решение системы из этих двух оставшихся уравнений будет и решением переопределенной системы (4). То есть у нее может быть и одно решение, и даже бесчисленное множество решений.

Все сказанное выше о системе (4) становится предельно ясным, если мы учтем, что каждое из уравнений этой системы – это уравнение прямой на плоскости. А значит, решая систему (4), мы ищем координаты (x; y) общих точек трех прямых на плоскости. То есть ищем координаты точек, в которых пересекаются сразу три прямые. Но таких точек у трех произвольных прямых, скорее всего, не будет. А значит, скорее всего, система (4) не будет иметь решений.

Однако три прямые на плоскости все-таки могут пресекаться в одной точке, а значит, система (4) может иметь решение (x; y), определяющее координаты этой точки. Более того, все три прямые могут и совпадать. Тогда у них бесчисленное количество общих точек, а значит, в этом случае система (4) будет иметь бесчисленное множество решений. Этими решениями будут координаты (x; y) точек всех трех совпадающих прямых.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений

Решение. Данная система является переопределенной (в ней три уравнения и лишь две неизвестные). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, не будет иметь решений. Так ли это, выясним с помощью метода Гаусса:

Система действительно не имеет решений, так как два последних ее уравнения противоречат друг другу.

Случай m < n (количество уравнений меньше количества неизвестных). Такие системы, как уже указывалось выше, называются недоопределенными. Они, как правило, имеют бесчисленное множество решений. А в виде исключения могут совсем не иметь решений. Вариант единственного решения для таких систем исключается.

Проиллюстрируем сказанное на примере двух уравнений с тремя неизвестными.

(5)

Применяя к ней метод Гаусса, можем с помощью первого уравнения исключить какую-либо неизвестную из второго уравнения системы. Но все равно, вообще говоря, во втором уравнении останутся две неизвестные. Одну из них можно объявить свободной (она может принимать любые значения), тогда другая (связанная) неизвестная однозначно выразится через свободную. А затем из первого уравнения системы (5) однозначно выразится через свободную неизвестную и оставшаяся третья неизвестная (тоже связанная). В итоге получим бесчисленное количество решений недоопределенной системы (5).

Может случиться и так, что после исключения какой-то неизвестной из второго уравнения системы в нем остались не две, а одна неизвестная. Тогда эта неизвестная найдется однозначно. Но после подстановки этой неизвестной в первое уравнение системы в этом первом уравнении окажется две неизвестных, одну из которых (любую) можно считать свободной. В итоге, очевидно, опять получим бесчисленное множество решений.

Наконец, во втором уравнении системы (5) после исключения из него какой-то неизвестной могут заодно исключиться и две другие неизвестные, так что оно примет вид числового равенства – верного типа или неверного типа . Второй из этих двух случаев будет, очевидно, означать, что система (5) не имеет решений. А первый – что все три неизвестные этой системы должны быть найдены из одного ее первого уравнения, ибо ее второе уравнения – прямое следствие первого. В этом первом уравнении две неизвестные из трех оказываются свободными, одна связанная, а система (5) в этом случае, естественно, имеет бесчисленное множество решений.

Ситуацию с решениями недоопределенной системы (5) и с их количеством можно очень наглядно проиллюстрировать геометрически. Как известно еще из школьного курса математики, уравнение вида является уравнением плоскости в пространстве. В нем (x; y; z) – это координаты точек этой плоскости. Поэтому, решая систему (5), мы ищем координаты (x; y; z) общих точек (точек пересечения) двух плоскостей в пространстве. Но таких точек (а значит, и решений системы (5)) может в принципе быть:

а) бесчисленное множество (плоскости пересекаются или совпадают);

б) не быть вообще (плоскости параллельны).

Пример 7. Решить систему

Решение. Данная система является недоопределенной (в ней три неизвестные и лишь два уравнения). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, будет иметь бесчисленное количество решений. Одно из них, в силу однородности системы, очевидно – это тривиальное решение ( ; ; ). Найдем остальные решения.

Получили, как и ожидали, бесчисленное количество решений. Его можно представить и в более удобной симметричной форме, если ввести обозначение (t – свободный параметр). Тогда получим окончательно

(t – произвольная (свободная) величина)

В этом множестве решений, заметим, содержится и тривиальное решение – оно получается при .

Итак, все варианты, которые могут встретиться при решении систем линейных уравнений (1), мы рассмотрели. Подведем

Общий итог.

Любая система линейных уравнений (1) (с любым количеством уравнений и любым количеством неизвестных) может, в принципе:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесчисленное множество решений.

При этом квадратные системы (у которых количество уравнений равно количеству неизвестных) имеют, как правило, одно решение.

Системы, у которых количество уравнений больше количества неизвестных (переопределенные системы), как правило, не имеют решений.

Системы, у которых количество уравнений меньше количества неизвестных (недоопределенные системы), как правило, имеют бесчисленное множество решений.

Окончательно вопрос о количестве решений и о самих решениях каждой конкретной системы может быть выяснен в процессе решения системы. При этом наиболее естественным, универсальным, экономным методом решения систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Рассмотрим метод Гаусса в более формализованном виде .Прежде чем излагать эту модификацию метода, сделаем одно предварительное замечание. Пусть у нас есть произвольная система линейных уравнений.

(6)

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса придется делать следующие преобразования системы: обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы (1), переставлять два уравнения системы (1). Эти преобразования системы, как уже было отмечено, являются элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, переводящими эту систему в ей эквивалентную.

Может случиться, что после выполнения таких преобразований в нашей системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю. Если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение не может удовлетворяться ни при каких значениях неизвестных, и поэтому полученная нами система уравнений, равно как и ей исходная система (1), будут несовместными.

Перейдем к изложению метода Гаусса. Пусть в данной нам произвольной системе линейных уравнений (1) коэффициент . Если же случится так, что этот коэффициент равен нулю, то на первое место поставим любой другой коэффициент не равный нулю.

Преобразуем теперь систему (1), исключая неизвестное из всех уравнений кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д.

В результате мы получим новую систему из s уравнений с n неизвестными:

(7)

Нет необходимости явно записывать выражения новых коэффициентов через коэффициенты и свободные члены исходной системы.

Полученная система уравнений (7) эквивалентна системе (6). Будем теперь преобразовывать систему (7). При этом первое уравнение уже больше не будет участвовать в преобразованиях. Подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (7), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, конечно, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю. Такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместность нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля. Пусть для определенности . Преобразуем теперь систему (7), вычитая из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженные соответственно на числа:

Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго и мы придем к следующей системе уравнений (8), эквивалентной системе (7), а поэтому и системе (6).

(8)

Теперь система содержит t уравнений, , так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. Разумеется число уравнений системы могло уменьшиться уже после исключения неизвестного . В дальнейшем, преобразованиям подлежит лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых.

Этот процесс последовательного исключения неизвестных продолжается до тех пор пока не произойдет одно из двух событий:

1. Мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю. В этом случае наша исходная система несовместна.

2. Мы получим следующую систему уравнений, эквивалентную исходной:

(9)

Здесь Отметим также, что и, очевидно, . В этом случае система совместна. Она будет неопределенной при ( система будет иметь трапецеидальный вид – (9)) и определенной при ( система будет иметь треугольный вид – (10) )

(10)

Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного . Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного . Продолжая так далее, мы найдем все значения неизвестных. Таким образом, система (6), а значит и система (10) обладает единственным решением, т.е. совместна и определена.

Если же , то для «свободных» неизвестных мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (9) снизу вверх, мы найдем для неизвестных вполне определенные значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то система (9) и, следовательно, система (6) будут совместными, неопределенными.

Подводя итог, можно сказать следующее: метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встретим, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет определенной, если она приводится к треугольному виду (9), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (10).

Применим все вышеизложенное к системам линейных однородных уравнений. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями, т.е. решениями, в которых значения некоторых ( или даже всех ) неизвестных отличны от нуля. Таких решений будет бесконечно много.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса следует выписать матрицу из коэффициентов системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой «расширенной» матрицы.

Пример 8. Решить систему

Решение:

Произведем вышеописанные преобразования с расширенной матрицей системы.

Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений

Эта система обладает единственным решением: Значит, она является определенной.

Пример 9. Решить систему

Решение.

1) Из третьей строки вычесть первую, далее третью строку умножить на 3 и вычесть из второй.

2) Поменять местами второй и третий столбцы, а потом вторую и третью строки.

3) Из третьей строки вычесть вторую, умноженную на 21, затем из четвертой строки вычесть вторую, умноженную на 20. Далее из четвертой строки вычесть третью.

Мы пришли к системе, содержащей уравнение 0=2. Исходная система будет, следовательно, несовместной.

Пример 10. Решить систему

Решение.

Эта система однородных уравнений, причем число уравнений меньше числа неизвестных; она должна быть поэтому неопределенной. Так как все свободные члены равны нулю, то мы будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:

1) Поменяем местами первую и третью строки.

2) Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, из третьей строки вычтем первую, умноженную на 4.

3) Поменять местами второй и третьей столбец. Из третьей строки вычесть вторую.

Мы пришли к системе уравнений:

В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных Пусть Тогда из первого уравнения следует после чего из второго уравнения получаем , а из третьего уравнения . Таким образом , общий вид решений заданной системы уравнений: .