Решение СЛАУ методом LU- факторизации. Алгоритм Краута.

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанных в общем виде:

Ах=В (1)

Матрицу коэффициентов А можно представить в виде произведения двух треугольных матриц (нижней L и верхней U) с единицами на главной диаго-нали, одной из них:

(2)

Подставим (2) в (1). Исходная система уравнений приобретает вид:

(3)

обозначим . (4)

Тогда . (5)

Получаем две системы линейных уравнений (4) и (5) с треугольными матри-цами коэффициентов. Решаются эти системы по простым алгоритмам.

Решив систему (5), определим вектор Y. Подставляем значения Y в систему (4), решаем её и определяем искомое значение х.

Для разложения матрицы А на треугольные матрицы L и U эффективен алгоритм Краута (самостоятельно, см. ОТ – 2-й курс).