Системы нелинейных уравнений установившегося режима и методы их решения

Нелинейные уравнения установившегося режима получаем в том случае, если нагрузка или генерация в узлах сети задана в виде постоянной мощнос-ти.

Математическая модель установившегося режима электрической сети в общем виде представляется как система нелинейных алгебраических урав-нений в форме балансов токов или баланса мощностей с комплексными неиз-вестными и коэффициентами при них.

Такие системы уравнений решаются только итерационными методами.

В общем виде уравнения установившегося режима можно представить в виде системы неявных функций:

(1)

где W - вектор-функция,

X и Y - вектор-столбцы независимых и зависимых параметров режима.

Независимые параметры X - это заданные параметры режима (P, Q, U). В ходе расчета они остаются неизменными. Зависимые параметры Y – пара-метры режима, которые вычисляются в результате решения системы урав-нений установившегося режима ( U΄, U˝, Q_i).

В состав векторов X и Y могут входить различные параметры режимов в зависимости от постановки задачи, целей расчетов и.д.

При расчетах установившегося режима значения элементов вектора X неизменны , тогда (1) мы можем записать с учетом того, что основ-ной состав элементов вектора Y - это напряжения, т.е. :

(2)

Нелинейные уравнения формируются при задании нелинейных источников тока в узлах ( генераторы с постоянной мощностью, нагрузки потребителей с постоянной мощностью, нагрузки, заданные статическими характеристика-ми). Постоянная мощность нагрузки или генерации задается в виде узлового тока:

I(U) = S^* / U^*,

где S = const – заданная мощность в узле;

U – напряжение в узле;

I(U) – нелинейный источник тока.

Тогда СНАУ установившегося режима в форме баланса токов имеет вид:

(3)

В матричной форме:

.

Это система n комплексных уравнений. Систему будем решать методами Зейделя и Ньютона-Рафсона.

Из системы (3) в результате несложных преобразований можно получить СНАУ в форме баланса мощности:

(4)

где U^*_диаг – диагональная матрица, на главной диагонали которой размеща-

ются сопряжённые комплексы напряжения;

Y_б - вектор взаимных проводимостей узлов сети с опорным.

Для решения системы уравнений итерационными методами, её нужно прео-бразовать – решить каждое уравнение относительно одной из неизвестных величин U_i:

U₁ = g₁(U₁, U₂, …, U_n)

U₂ = g₂(U₁, U₂, …, U_n)

... … …

U_n = g_n(U₁, U₂, …, U_n) .

В матричном виде: U = G(U).

В итерационной форме: U^(к+1) = G(U^(к)).