Потери напора при ламинарном течении жидкости

Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к её оси скорости нарастаю плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис. 2).

Рис. 2. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:

(1)

где P₁и P₂- давления соответственно в сечениях 1 и 2; μ -динамический коэффициент вязкости.

У стенок трубы величина r = R, значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной: (2)

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объёму этого параболоида. Определим этот объём. Максимальная скорость даёт высоту параболоида: (3)

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью πR² равен:

а в нашем случае: (4)

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула приобретёт вид:

(5)

Среднюю скорость по сечению найдём делением расхода на площадь:

(6)

Сравнение этого выражения с формулой (4.2.2) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис.4.2). Потеря давления в трубопроводе будет равна (из формулы (6)):

(7)

Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости νи плотность ρ ( μ = ν*ρ ) и разделить обе части равенства на объёмный вес жидкостиγ =ρ g, то получим: (8)

Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора h_пот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид: (9)

Полученный закон сопротивления называют законом Пуазейля[1] и используют для расчёта трубопроводов с ламинарным течением. Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так: , (10)

где λ - коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению: . Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re < 2300 применять формулу: .