КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

Касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке, по своей физической природе существенно отличаются от касательных напряжений в ламинарном потоке. В результате интенсивного перемешивания частиц происходит массообмен частицами в поперечном направлении между отдельными слоями, что приводит к обмену количеством движения.

Определим касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке вдоль оси х, в котором имеются пульсации скоростей, приняв струйчатую модель движения (рис. 4.9). Выделим в потоке жидкости два слоя: первый слой - движения со скоростью , второй - с большей скоростью на величину , т.е. .

Рис. 4.9. К определению касательных турбулентных напряжений

За счет поперечной пульсационной скорости происходит обмен массами между слоями через некоторую площадь . За время dt через площадь от слоя 1 к слою 2 пройдет следующая малая масса жидкости:

. (4.73)

Эта масса жидкости за счет продольной пульсации передаст слою 2 следующее количество движения:

. (4.74)

В результате передачи количества движения в слое 2 возникает импульс силы

, (4.75)

где - воображаемая сила трения, вектор которой параллелен направлению движения слоев.

Используя теорему количества движения (изменение количества движения равно импульсу движущих сил), получим

(4.76)

или

(4.77)

где - касательные напряжения в турбулентном потоке.

Уравнение выражает мгновенное значение касательных напряжений, обусловленных пульсацией скорости при турбулентном движении.

Осредненные касательные напряжения турбулентного трения представляются в виде

, (4.78)

где , - осредненные пульсационные составляющие.

В турбулентном потоке имеют место вязкостные напряжения, связанные с силами внутреннего трения в результате сцепления частиц в потоке, а также со стенками русла. Полные касательные напряжения в результате турбулентного перемешивания и вязкостного трения

(4.79)

или

, (4.80)

где - динамическая вязкость.

Согласно теории Прандтля пульсационные скорости и достаточно близки ( ), а пульсационная осредненная составляющая

,

где l - значение перемещения частиц или длина пути смешивания.

Тогда, подставив (4.81) в (4.78), получим формулу турбулентных касательных напряжений:

. (4.82)

Согласно гипотезе Прандтля величина принимается пропорциональной расстоянию в рассматриваемой точке z от стенки русла потока, т.е.

, (4.83)

где a - некоторое постоянное число.

По Прандтлю следует, что по мере удаления от стенки значение перемещений частиц жидкости в поперечном направлении увеличивается. Число а обычно называют универсальной постоянной Прандтля.

В результате исследований турбулентного потока в трубах, связанных с распределением скоростей, Никурадзе получил a=0,4.

По предложению Буссинеска турбулентные касательные напряжения по аналогии с законом Ньютона можно представить в виде

, (4.84)

где А - коэффициент турбулентного перемешивания, связанный с переносом количества движения в результате интенсивности турбулентного перемешивания.

Учитывая равенства для (4.82) и (4.84),

, (4.85)

получим

. (4.86)

По аналогии с законом трения Ньютона обозначим , где - динамическая виртуальная (турбулентная) вязкость.

Выражение (4.82) может быть представлено в следующем виде:

.

При сильно турбулизированном потоке вязкостные напряжения пренебрежительно малы, и тогда касательные напряжения

.