Числа в форме с плавающей точкой

В формате представления числе с плавающей точкой каждое число разбивается на две группы цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком. Число представляется в виде произведения X = ±mq^{± p}, где т — мантисса числа, р — порядок числа, q — основание системы счисления.

Для представления числа в формате с плавающей точкой требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в двоичном коде, а также основание системы счисления (рис. 14.4). Нормальная форма неоднозначна, так как взаимное изменение m и p приводит к «плаванию» точки, чем и обусловлено название этого формата.

Рис. 14.4. Формат представления чисел с плавающей точкой

Диапазон и точность представления чисел с плавающей точкой зависят от числа разрядов, от­водимых под порядок и мантиссу.

В большинстве компьютеров для упрощения операций над поряд­ками последние приводят к целым положительным числам, применяя так называ­емый смещенный порядок. Для этого к истинному порядку добавляется целое по­ложительное число — смещение. Например, в системе со смещением 128 порядок -3 представляется как 125 (-3 + 128). Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона порядков. Отметим, что смещенный порядок занимает все разряды поля порядка (рис. 14.5), в том числе и тот, который ранее использовался для записи знака порядка, т.е. смещенный порядок – это целое число без знака.

Рис. 14.5. Формат числа с плавающей точкой со смещенным порядком

Для 32-разрядных чисел с плавающей точкой возможны следующие диапазоны чисел:

· отрицательные числа между – (1 – 2^-24) * 2¹²⁷ и – 0,5 * 2^-128;

· положительные числа между 0,5 * 2^-128 и (1 – 2^-24) * 2¹²⁷.
В эту область не включены пять участков:

· отрицательные числа, меньшие чем -(1- 2^-24) * 2¹²⁷ — отрицательное переполнение;

· отрицательные числа, меньшие чем -0,5*2^-128 — отрицательная потеря значимости;

· положительные числа, меньшие чем 0,5 * 2^-28 — положительная потеря значи­мости;

· положительные числа, большие чем (1 - 2 ^-24) * 2¹²⁷ — положительное переполнение.

Следует также отметить, что числа в формате с плавающей точкой, в отличие от чисел в форме с фиксированной точкой, размещены на числовой оси неравномерно. Значения в начале числовой оси расположены плотнее, а по мере движения вправо — все реже (рис. 14.6). Это означает, что многие вычисления данных в формате с плавающей точкой приводят к результату, который не является точным, то есть представляет собой округление до ближайшего значе­ния, представимого в данной форме записи.

Рис. 14.6.Плотность чисел с плавающей точкой на числовой оси

В настоящее время во всех процессорах в обязательном порядке реализован формат чисел с плавающей точкой в соответствии со стандартом IEEE 754.