Лекальные кривые.

Лекальные кривые имеют большое применение в технике. Они применяются для очертаний различных технических деталей, например: профилей кулачков, кронштейнов, подвесок, зубчатых колес, фасонного инструмента и т.п.

Лекальными называются кривые, вычерчиваемые при помощи лекала по предварительно найденным точкам.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся способы построения плоских кривых, пространственные кривые здесь не рассматриваются. Во всех приведенных примерах вычерчивание кривых произведено графическим способом, исходя из геометрических свойств каждой данной кривой, без вычисления координат их отдельных точек. В случае необходимости можно чертить все эти кривые, пользуясь их уравнениями.

Эллипс(рис. 2.60). Эллипсом называется замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух точек – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. Эллипс получается при пересечении поверхности кругового конуса (кругового цилиндра) плоскостью, наклоненной к его оси и пересекающей все образующие. Отрезок MN называют большой осью эллипса, а отрезок DE малой его осью. Если из точки D или Е провести дугу радиусом R = MN/2, то на большой оси эллипса получаем его фокусы (точки F₁ и F₂). Уравнение эллипса:

где: а = MN/2 – большая полуось, b = DЕ/2 – малая полуось. Задаваясь рядом значений для x и определяя значения y, можно построить ряд точек, соединив которые плавной кривой, получим эллипс.

Рис. 2.60

На рис. 2.60 показан один из графических способов построения эллипса. Проводят две концентрические окружности, диаметры которых равны осям эллипса. Эти окружности делят на несколько равных частей (например, 12). Через точки деления на большой окружности проводят вертикальные линии, через соответствующие точки деления на малой окружности – горизонтальные линии. Пересечение этих линий даст точки эллипса I, II, III и т.д.

Парабола(рис. 2.61). Параболой называется кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой (директрисы) KN и от фокуса F. Парабола получается при пересечении поверхности кругового конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих. Вершина параболы – точка О – должна быть на одинаковом расстоянии от директрисы и от фокуса, т.е. КО = ОF = р/2. Для точки М: FМ = МN. Если провести оси координат через точку О, то получим уравнение параболы:

где р – расстояние от фокуса F до директрисы, называемое параметром параболы. Существует несколько графических способов построения параболы. На рис. 2.61 показан способ, когда на оси х задана вершина параболы О и одна из ее точек, например, точка D. Через точку О проводят ось Оу, через точку D – линию параллельную оси Ох. Отрезки ОВ и ВD делят на произвольное одинаковое число равных частей и нумеруют точки деления. Вершину О соединяют с точками деления стороны ВD, а из точек деления отрезка ОВ проводят прямые, параллельные оси Ох. Пересечение прямых, проходящих через точки с одинаковыми номерами, определяет ряд точек параболы.

Рис. 2.61

Гипербола (рис. 2.62). Гиперболой называется кривая, у которой разность расстояний любой ее точки до двух заданных точек – фокусов есть величина постоянная. Гипербола получается при пересечении поверхности кругового конуса плоскостью параллельной, двум любым из его образующих. Точки F₁ и F₂ – фокусы гиперболы, точки А₁ и А₂ – ее вершины. Уравнение гиперболы:

где а – половина расстояния между вершинами гиперболы; где с – половина расстояния между ее фокусами.

На рис. 2.62 показан способ построения гиперболы по фокусному расстоянию F₁ F₂ = 2с и расстоянию между вершинами А₁А₂ = 2а. Описав на отрезке F₁ F₂, как на диаметре полуокружность, из вершин А₁ и А₂ проводят хорды А₁К₁ и А₂К₂, перпендикулярные к действительной оси гиперболы. Через найденные точки К₁, К₂ и центр О пройдут асимптоты гиперболы. На оси гиперболы отмечают произвольные точки 1, 2, 3 … и из фокусов F₁ и F₂ как из центров делают засечки радиусами, равными расстояниям от любой из точек 1, 2, 3 … до вершин А₁ и А₂ гиперболы. Например, чтобы построить точку I, из фокуса F₂ проводят дугу радиусом r₁ = А₁1, а из А₁ фокуса F₁ – встречную дугу радиусом R₁ = А₂1. Правая ветвь гиперболы строится как симметричная кривая относительно мнимой оси Оу.

Рис. 2.62

Эвольвента(развертка круга). Эвольвентой называется траектория, описываемая каждой точкой прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. В машиностроении по эвольвенте очерчивают профиль головок зубьев и зубчатых колес.

Уравнение эвольвенты круга: х = r cos φ + r φ sin φ ;

y = r sin φ - r φ cos φ .

Для построения эвольвенты окружность делят на произвольное число равных частей, например на 12 (рис. 2.63). В точках деления проводят касательные к окружности направленные в одну сторону и откладывают на них соответственно 1/12, 2/12, 3/12 … длины окружности. Если окружность разделена на большое число частей, то разница между величиной дуги и величиной хорды, стягивающей эту дугу, сравнительно невелика, поэтому по касательным в этих случаях можно отложить хорду. По первой касательной отложить от точки 2 одну хорду, взятую между точками 1 и 2, по второй касательной от точки 3 – две такие хорды, по третьей – три и т. д.

Рис. 2.63

Любая точка прямой А1В при перекатывании этой кривой без скольжения по окружности движется по эвольвенте. На рис. 2.63 тонкой линией начерчена эвольвента описываемая точкой А.

Спираль Архимеда(рис. 2.64). Спираль Архимеда – это плоская кривая , описываемая точкой, равномерно движущейся по радиусу-вектору, который в тоже время равномерно вращается вокруг неподвижной точки О. Точка О – полюс спирали. Отрезок, соединяющий произвольную точку спирали с полюсом, называется радиус-вектором - r. Шаг спирали – это путь, который проходит точка по радиус-вектору за время одного полного оборота вокруг полюса О.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат:

r = а φ;

где r - радиус-вектор; φ – угол вращения; а – шаг спирали. Построение спирали по заданному шагу - а = ОVIII и полюсу О (рис. 64).

Из точки О, как из центра проводят окружность радиусом а = ОVIII. Окружность и шаг ОVIII спирали делят на одинаковое число равных частей, например на 8. Из полюса О к точкам деления окружности 11, 21, 31, … проводят лучи. Из той же точки О как из центра проводят дугу радиусом О1 до пересечения с лучом О11 в точке I; далее проводят дугу радиусом О2 до пересечения с лучом О21 в точке II, дугу радиусом О3 до пересечения с лучом О31 в точке III и т.д. Полученные точки, включая точку О, соединяют по лекалу.

Рис. 2.64

Синусоида– кривая, изображающая изменение синуса в зависимости от центрального угла (от 0 до 360⁰). На рис. 2.65 синусоида, выраженная формулой показана толстой линией. Строят окружность, от начала координат О вправо по оси Ох откладывают отрезок равный длине окружности ОN=pd, где d=EF. Делят окружность и отрезок ОN на

Рис. 2.65

одинаковое число равных частей, в данном примере не 12. Проводят через точки окружности 1,2,3.., прямые, параллельные оси Ох, до встречи их с соответствующими прямыми,

проведенными из точек 0,2₁, 3₁..., параллельно оси Оy. Тонкой линией на рис. 2.65 показана косинусоида, выраженная формулой y=cosa.

Циклоида(рис. 2.66). Циклоидой называется незамкнутая плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Циклоидальные кривые применяют в машиностроении при вычерчивании деталей, совершающих вращательное и одновременно поступательное движение. К циклоидным кривым относятся: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, кардиоида, астроида, описанные ниже.

Уравнение циклоиды:

Для построения циклоиды от исходного положения точки О на направляющей прямой откладывают отрезок О-12₁, равный длине данной окружности – 2πR. Окружность и отрезок О-12₁ делят на одинаковое число равных частей. Восставляя перпендикуляры из точек деления прямой О-12₁ до пересечения с прямой, проходящей через центр данной окружности параллельно О-12₁, намечают ряд последовательных положений центра перекатываемой окружности 1₀, 2₀, 3₀, … 12₀. Описывая из этих центров окружности радиуса R, отмечают точки пересечения с ними прямых, проходящих параллельно О-12₁ через точки деления окружности 1, 2, 3, и т.д. В пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра 1₀, находится точка циклоиды – I; в пересечении горизонтальной прямой, проходящей через точку 2, с окружностью, проведенной из центра 2₀, находится точка – II и т.д. Соединяя полученные точки плавной кривой получаем циклоиду.

Рис. 2.66

Эпициклоида и гипоциклоида(рис. 2.67, 2.68). Эпициклоидой называется незамкнутая плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной окружности Q снаружи, а гипоциклоидой – незамкнутая плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной окружности Q внутри ее. Эпициклоиду и гипоциклоиду применяют в машиностроении при вычерчивании зубчатых колес; по эпициклоиде часто описывают «головку» зуба, а по гипоциклоиде – его «ножку».

Уравнения эпициклоиды:

Уравнения гипоциклоиды:

Построение эпициклоидыпо данным величинам d и R ведут так (рис. 2.67). Радиусом R строят дугу направляющей окружности и ограничивают ее сектором, центральный угол которого находят по формуле: α = (d 360⁰) / R, где d – диаметр образующей окружности К, а R – радиус дуги направляющей окружности Q. Далее из центра О₀ проводят линию центров радиусом ОО₀ = R + d/2. Образующую окружность К и дугу О₀12₀ делят на одинаковое число равных частей, например на 12. Из центра О проводят концентрические окружности радиусами О1, О2, О3, …, а из точек 1₀, 2₀, 3₀, … как из центров дугами радиуса d/2 последовательно засекают эти окружности. В пересечении получают точки эпициклоиды I, II, III, … Например, из центра 1₀ засекают дугу, проходящую через точку 1, из центра 2₀ – дугу, проходящую через точку 2, и т.д.

Рис. 2.67

Построениегипоциклоиды аналогично построениюциклоиды (рис. 2.68). Величину центрального угла, охватывающего ветвь гипоциклоиды, определяют по той же формуле, что и при построении эпициклоиды.

Рис. 2.68

Найденные точки I, II, III, … ХII эпициклоиды и гипоциклоиды соединяют сначала от руки на глаз тонкой линией: а затем всю линию обводят при помощи лекала. При обводке надо учитывать, что эпициклоида, как и гипоциклоида, имеют ось симметрии (ось Оу), поэтому ее симметричные участки должны быть описаны по одной и той же части лекала, переложенного на обратную сторону.

Трохоида или волновая линия (рис. 2.69) представляет собой укороченную циклоиду.

Рис. 2.69

Построение кривой ведут в следующем порядке. Чертят окружность диаметром, равным высоте волны Н и делят ее на произвольное число равных частей, например 12. Через центр окружности проводят оси х и у. От центра окружности О по оси Ох в ту и в другую стороны откладывают по щесть отрезков одинакового размера (любой величины) и из полученных точек 1, 2, 3, 4, … проводят линии, параллельные соответствующим радиусам окружности. Например, для построения точки VI, принадлежащей трохоиде, проводят наклонную линию 6 VI параллельно радиусу 06.

Кардиоида (рис. 2.70) представляет собой эпициклоиду для случая, когда диаметр

Рис. 2.70

перекатываемого круга К равен диаметру направляющего круга Q. Для построения кардиоиды делят окружность Q на произвольнее число частей. Из точек 2, 3, 4, 5, 6, … проводят линии через точку 7 и по этим линиям от точек 2, 3, 4, 5, 6, … откладывают отрезок D, равный диаметру кругов К и Q. Точки I, II, III, … ХII принадлежат кардиоиде.

Строфоида(рис. 2.71) есть геометрическое место точек I, II, III, IV…, для каждой из которых NB = BN₁ = OB.

Рис. 2.71

От начала координат – угла строфоиды – по оси Ох откладывают влево и вправо отрезок р заданной величины. В точке А получают вершину строфоиды, а через точку С параллельно оси Ох проводят ее асимптоту. По оси Оу от точки О в обе стороны откладывают отрезки любой величины и намечают точки 1, 2, 3, 4, … Из вершины А через точки 1, 2, 3, 4, … проводят лучи и на них делают засечки радиусами, равными ординатам точек 1, 2, 3, 4, … Так, например, для построения точек III и III1 строфоиды нужно на луче А3 сделать засечку радиусом, равным расстоянию точки 3 от начала координат точки О. Уравнение строфоиды, выраженное в полярных координатах:

Циссоидой(рис. 2.72) называется кривая, подчиняющаяся уравнению:

r = α sinφ tgφ

Рис. 2.72

Построение кривой ведут в следующем порядке. Чертят окружность заданного диаметра D и, приняв один из ее диаметров за ось Ох, проводят через точку О ось Оу, а из точки К – ей параллельную линию MN. Из начала координат точки О проводят секущие до пересечения их с линией MN в точках 1, 2, 3, 4, … После этого по каждой секущей откладывают от начала координат отрезки 111; 212; 313;…, замеренные на секущих за пределами окружности. Так, для получения какой-нибудь точки В, принадлежащей чиссоиде, нужно отложить от начала координат отрезок ОВ = СВ1.

Лемниската(рис. 2.73) есть геометрическое место точек N, для которых произведение расстояний r₁ и r₂ до двух неподвижных точек F₁ и F₂ – ее фокусов – имеет постоянное значение е², если при этом и 0А = 0А₁ = а.

Построение кривой ведут в следующем порядке. На оси 0у откладывают и Намечают произвольные точки 1, 2, 3, 4, … на расстоянии от начала координат, не превышающем 2а, и соединяют их с точкой К. Строят К11 ^ К1; К21 ^ К2; К31 ^ К3 … и получают прямоугольные треугольники 1К11; 2К21; 3К31, …, у которых 1О × О11 = 2О × О21 = 3О × О31 = ОК2 = е2. Для получения точки 1 делают засечки из фокуса F1 радиусом, равным расстоянию точки 1 от точки О, и из фокуса F2 радиусом 11О и т.д. Кривая располагается симметрично относительно осей Ох, Оу и начала координат О. Уравнение лемнискаты в полярных координатах:

Рис. 2.73

Конхоидапрямой линии (рис. 2.74) есть геометрическое место точек I, I₁; II, II₁; III, III₁, … на пучке лучей, проведенных из некоторой точки О к прямой MN, находящейся от точки О на расстоянии b, если на этих лучах в обе стороны от линии MN откладывать отрезки постоянной длины а.

Рис. 2.74

Построение кривой ведут в следующем порядке: от точки О по оси Ох откладывают заданный отрезок b, через точку К проводят линию MN параллельно оси Оу. Из точки О проводят пучок лучей, получая при этом на линии MN точки 1, 2, 3, 4, … Из точек 1, 2, 3, 4, … засекают проведенные лучи дугами радиуса а. Так для получения точек В и В1, принадлежащих конхоиде, из точки С на луче ОВ1 засекают дугу радиусом СВ = СВ1 = а. Кардиоида представляет собой конхоиду окружности относительно взятой на ней точки (точки 7, рис. 2.70). Уравнение конхоиды в полярных координатах: