Статистический смысл температуры

Рассмотрим процесс приведения в тепловой контакт и перехода к термодинамическому равновесию первоначально теплоизолированных систем 1 и 2, показанных на рисунке. При выдвижении теплоизолирующего слоя перегородки a-b тепло перетекает между системами. Энергия всей системы сохраняется

,

тогда вариации энергий

.

Число микросостояний всей системы равно произведению числа микросостояний составляющих независимых систем

.

Теплоизолированные системы 1 и 2

При термодинамическом равновесии устанавливается наиболее вероятное состояние, в котором макросистема находится бόльшую часть времени, совершая кратковременные флуктуации. Фазовый ансамбль в своем движении по фазовому пространству последовательно проходит микросостояния. Максимальному временисоответствует максимальное число микросостояний, через которые проходит система. Накладываем условие экстремума на число микросостояний всей системы, тогда вариация

.

или для

в явной форме

.

С учетом и , находим

.

Аналогично ведет себя температура согласно общему началу термодинамики – при тепловом равновесии температура выравнивается во всех точках системы. Сопоставляем величины и для равновесной системы получаем

, (2.68)

где с учетом размерностей – тепловая энергия. При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана. Согласно (2.68) число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния фазового ансамбля создаются тепловой энергией.

Для газа из N атомов с энергией E в f-мерном пространстве с законом дисперсии подстановка (2.64а)

в (2.68) дает выражение энергии газа и средней энергии частицы через температуру

, . (2.69)

В результате установлен статистический смысл температуры, отсчитываемой по шкале Кельвина – температура пропорциональна средней кинетической энергии частицы.

В (2.65)

подставляем (2.69) и получаем известное в термодинамике уравнение идеального газа

,

где – концентрация частиц; k – постоянная Больцмана.