Свойства эрмитового сопряжения

,

,

,

, . (2.12)

Для доказательства применяем (2.11) к оператору

и последовательно – вначале к оператору , затем, к

.

Сравниваем правые стороны полученных равенств.

Остальные соотношения доказать самостоятельно.

Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении

. (2.13)

Из (2.11) получаем определение эрмитового оператора

. (2.14)

Следовательно, эрмитовый оператор можно переставлять в интегральной квадратичной форме от одной функции к другой.

Свойства эрмитова оператора:

1) Собственные значения вещественные.

Доказательство:

В (2.14)

полагаем , где – собственная функция оператора . Учитываем

, ,

получаем

.

Следовательно,

(2.15)

– измеряемая величина вещественна.

2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство:

Для собственных функций и оператора выполняется

, , , .

Из (2.14)

при , получаем

.

Учитывая вещественность собственных значений (2.15), находим

.

При выполняется условие ортогональности состояний

. (2.16)

Следовательно, состояния и при измерении не совместимы и измерение дает однозначный результат.