Определение. Если конечно, то кривая называется спрямляемой.

Замечание. В терминах действительного анализа спрямляемая кривая – непрерывная функция ограниченной вариации.

Задача. 1) Доказать, что длина кривой не зависит от выбора параметризации.

Пусть - строго возрастающая и непрерывная функция на т.ч. - имеют одну и ту же длину.

2) Доказать, что , параметр разбиения, т.е. .

3) Привести пример не спрямляемой кривой.

Определение. - гладкая кривая, если функция непрерывна, дифференцируема на отрезке [a,b] и .

Задача. Доказать, что длина гладкой кривой вычисляется по формуле: