Частный случай закона больших чисел Чебышева.

Это непосредственно следует из формулы (54), так как

Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к числу А, если при сколь угодно малом вероятность неравенства с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что .

Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.

Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.

Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева.

Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью. Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i — номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а, т. е. _.

Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения аменьше, чем на _.