Ортогональное проецирование на три плоскости проекций

В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию.

Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций– профильную плоскость W(рисунок1.4). Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют на плоскости H, V и W и получают три проекции одной точки– горизонтальную, фронтальную и профильную.

Если все три плоскости проекций продолжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя плоскостями на восемь частей, называемых октантами(рисунок1.5). Октанты характеризуются различными знаками координат по осям0X, 0Y и0Z.

Рисунок1.3 – Проецирование точки на две плоскости

Знаки координат точки в различных октантах представлены в таблице.

Знаки координат в октантах

На рисунке1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:

а) Убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с линиями связи(см. рисунок1.6б);

б) Мысленно"разрезают" октант вдоль оси0Y и разворачивают плоскости H и W так, как показано на рисунке1.6в;

в) Получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями, линиями связи и проекциями точки(см. рисунок1.6г);

г) Удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три плоскости проекций(рисунок1.6д). Следует заметить, что на эпюре образовалось две оси0Y: одна ось относится к плоскости H, другая, помеченная звездочкой*, относится к плоскости W.

Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения. Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и эпюра:

1) Горизонтальная проекция точки A определяется координатамиX и Y, причем для её построения координатаY откладывается вдоль вертикальной оси0Y;

2) Фронтальная проекция точки A определяется координатами X иZ;

3) Профильная проекция точки A определяется координатами Z иY,

причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси0Y*;

4) Горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0X;

5) Фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0Z;

6) Отрезки на линиях связи AхA/= AzA///равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного макета;

7) Из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра Монжа– по двум проекциям точки можно построить третью.

Выше рассмотренное относилось к точке, расположенной в октанте в общем положении. Однако точка может принадлежать плоскостям проекций или осям. Такое положение точки называется частным положением.

Из рисунка1.7 видно, что если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, то две её проекции будут находиться на осях (рисунок1.7а,б). Если точка принадлежит какой-либо оси проекций, то две её проекции будут находиться на осях, а третья проекция– в точке0 (рисунок1.7в).

На рисунке1.8 представлена связь эпюра Монжа с проекционным черчением и методом проецирования, принятым в курсе технического черчения в соответствие с Единой системой конструкторской документации(ЕСКД).