Математические основы расчета характеристик надежности и долговечности.

Краткая историческая справка.

По сути дела наука о надежности и долговечности еще не имеет истории. Ее история только начинается. Настоящее развитие науки о надежности и долговечности началось уже в пятидесятые годы 20 века в связи с бурным развитием радиоэлектроники, ядерной физики, реактивной авиации и космической техники. Для этих отраслей надежность изготовляемых устройств имеет решающее значение.

Наиболее дальновидные ученые предвидели значение проблем надежности и долговечности. Так, основоположником учения о качестве поверхности является проф. Чебышев В. Л., установивший еще в 1880 году зависимость качества поверхности детали от метода обработки.

В 30-х годах по инициативе выдающегося советского ученого академика Чаплыгина С. А. была создана комиссия при АН СССР по изучению надежности и долговечности машин (1934 г.).

Но технический уровень развития промышленности Советского Союза в то время и ее оснащенность машинами были таковы, что наука о надежности и долговечности не получила поддержки, и комиссия АН СССР прекратила свое существование в 1939 году. Однако она успела провести несколько конференций и совещаний (в 1934 и 1939 гг.), что привлекло к этой проблеме ряд ученых.

В течение 10 лет (1942 - 1952 гг.) господствовало мнение, что исследования надежности и долговечности не могут вылиться в форму стройной теории и служить для прогнозирования надежности. С 1953 года вновь усилился интерес к вопросам надежности и появились ряд работ в этой области. Однако полное признание наука о надежности и долговечности получила в конце 50-х начале 60-х годов.

Особенно много для пропаганды надежности и долговечности сделал академик Берг А. И.. Большой вклад в разработку многих вопросов сделали академик АН УССР профессор Гнеденко Б. В., профессор д. т. н. Проников А. С, Дьяченко П. Е., академик Кузнецов В. Д., академик Серенсен С. В. и др. В настоящее время по отдельным разделам и проблемам надежности и долговечности имеются значительные исследования, как зарубежные, так и отечественные. Подавляющее большинство крупных заводов имеют специальные службы — отделы и бюро надежности и долговечности.

Основные понятия и определения.

Государственным Комитетом СССР по управлению качеством продукции и стандартам, институтом машиноведения АН СССР и Межотраслевым научно-техническим комплексом "Надежность машин" разработан и утвержден ГОСТ 27.002-89 "Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения", распространяющийся на технические объекты, и включает в себя более 120 терминов и пояснения к ним. Термины и определения приведены по разделам:

-общие понятия;

-состояние;

-дефекты, повреждения, отказы;

-временные понятия;

-техническое обслуживание и ремонт;

-показатели надежности, показатели безотказности, показатели долговечности, показатели ремонтопригодности;

-резервирование;

-нормирование надежности;

-обеспечение, определение и контроль надежности;

-испытания на надежность.

Кроме того, с 1.07.86 введен ГОСТ 27.004-85 "Надежность в технике. Системы технологические. Термины и определения", который устанавливает применяемые в науке, технике и производстве термины и определения основных понятий в области надежности технологических систем, обязательные для применения в документации всех видов, научно-технической, учебной и справочной литературе. В этом стандарте 26 терминов и определений приведены по следующим разделам:

-общие понятия;

-отказы технологических систем;

-основные показатели надежности технологической системы;

-комплексные показатели надежности и эффективности использования технологической системы.

Упомянутые стандарты должны применятся совместно с ГОСТ 3.1109-82, ГОСТ 23.004-78, ГОСТ 14.004-83.

Рассмотрим основные наиболее сложные понятия и определения, приведенные в упомянутых стандартах.

1. Надежность - свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования.

Терминология по надежности в технике распространяется на любые технические объекты-изделия, сооружения и системы, а также их подсистемы, рассматриваемые с точки зрения надежности на этапах проектирования, производства, испытаний, эксплуатации и ремонта. В качестве подсистем могут рассматриваться сборочные единицы, детали, компоненты или элементы. При необходимости в понятие "объект" могут быть включены информация и ее носители, а также человеческий фактор (например, при рассмотрении надежности системы "машина-оператор"). Понятие "эксплуатация" включает в себя, помимо применения по назначению, техническое обслуживание, ремонт, хранение и транспортирование.

Термин “объект“ может относиться к конкретному объекту, и к одному из представителей, в частности, к наугад выбранному представителю из серии, партии или статистической выборки однотипных объектов. На стадии разработки термин “объект” применяется к наугад выбранному представителю из генеральной совокупности объектов.

Границ понятия “надежность” не изменяет следующее определение: надежность - свойство объекта сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования.

Это определение применяют тогда, когда параметрическое описание нецелесообразно (например, для простейших объектов, работоспособность которых характеризуется по типу "да - нет") или невозможно (например, для систем "машина-оператор", т. е. таких систем, не все свойства которых могут быть охарактеризованы количественно).

К параметрам, характеризующим способность выполнять требуемые функции, относят кинематические и динамические параметры, показатели конструкционной прочности, показатели точности функционирования, производительности, скорости и т. п.

С течением времени значения этих параметров могут изменяться.

Надежность - комплексное свойство, состоящее в общем случае из безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости. Например, для неремонтируемых объектов основным свойством может являться безотказность. Для ремонтируемых объектов одним из важнейших свойств, составляющих понятие надежности, может быть ремонтопригодность.

Профессор Наумов В. А. был не согласен с определением "свойство объекта..." По его мнению, более корректно и точнее было бы "надежность - состояние объекта, при котором... " и т. д.

2. Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

Безотказность в той или иной степени свойственна объекту в любом из возможных режимов его существования. В основном безотказность рассматривается применительно к его использованию по назначению, но во многих случаях необходима оценка безотказности при хранении и транспортировании объекта.

Необходимо подчеркнуть, что показатели безотказности вводятся либо по отношению ко всем возможным отказам объекта, либо по отношению к какому-либо одному типу (типам) отказа с указанием на критерии отказа (отказов).

3. Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Объект может перейти в предельное состояние, оставаясь работоспособным, если, например, его дальнейшее применение по назначению станет недопустимым по требованиям безопасности или нецелесообразным с точки зрения экономичности и эффективности.

4. Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.

Термин "ремонтопригодность" традиционно трактуется в широком смысле. Этот термин эквивалентен международному термину "приспособленность к поддержанию работоспособного состояния" или, короче, "поддерживаемость" (maintainability).

Помимо ремонтопригодности в узком смысле это понятие включает в себя "обслуживаемость, т. е. приспособленность объекта к техническому обслуживанию, "контролепригодность" и приспособленность к предупреждению и обнаружению отказов и повреждений, а также причин их вызывающих. Более общее понятие "поддерживаемость", "эксплуатационная технологичность"(maintenance, support, supportability) включает в себя ряд технико-экономических и организационных факторов, например качество подготовки обслуживающего персонала.

Допускается дополнительно к термину "ремонтопригодность" (в узком смысле) применять термины "обслуживаемость", "контролепригодность", "приспособленность к диагностированию", "эксплуатационная технологичность" и др.

5. Сохраняемость - свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способности объекта выполнять требуемые функции, в течение и после хранения и (или) транспортирования.

В процессе хранения и транспортирования объекты подвергаются неблагоприятным воздействиям, например колебаниям температуры, действию влажного воздуха, вибрациям и т. п. В результате после хранения и (или) транспортирования объект может оказаться в неработоспособном и даже в предельном состоянии. Сохраняемость объекта характеризуется его способностью противостоять отрицательному влиянию условий и продолжительности его хранения и транспортирования.

В зависимости от условий и режимов применения объекта требования сохраняемости ставят по-разному. Для некоторых классов объектов может быть поставлено требование, чтобы после хранения объект находился в таком же состоянии, что и к моменту начала хранения. В этом случае объект будет удовлетворять требованиям безотказности, долговечности и ремонтопригодности, предъявляемым к объекту к моменту начала хранения. В реальных условиях происходит ухудшение параметров, характеризующих работоспособность объекта, а также снижается его остаточный ресурс. В одних случаях достаточно потребовать, чтобы после хранения и (или) транспортирования объект оставался в работоспособном состоянии. В большинстве других случаев требуется, чтобы объект сохранял достаточный запас работоспособности, т. е. обладал достаточной безотказностью после хранения и (или) транспортирования. В тех случаях, когда предусмотрена специальная подготовка объекта к применению по назначению после хранения и (или) транспортирования, требования о сохранении работоспособности заменяется требованием, чтобы технические параметры объекта, определяющие его безотказность и долговечность, сохранялись в заданных пределах. Очевидно, что все эти случаи охватываются в приведенном в стандарте определением понятия сохраняемости.

Требования к показателям безотказности, долговечности и ремонтопригодности для объекта, подвергнутого длительному хранению, должны указываться в техническом задании и в отдельных случаях могут быть снижены относительно уровня требований на новый объект, не находившийся на хранении.

Следует различать сохраняемость объекта до ввода в эксплуатацию, а сохраняемость объекта в период эксплуатации (при перерывах на работе). Во втором случае срок сохраняемости входит составной частью в срок службы.

В зависимости от особенностей и назначения объектов срок сохраняемости до ввода объекта в эксплуатацию может включать в себя срок сохраняемости в упаковке и (или) законсервированном виде, срок монтажа и (или) срок хранения на другом упакованном и (или) законсервированном более сложном объекте.

6. Исправное состояние (исправность) - состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

7. Неисправное состояние (неисправность) - состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и (или) конструктивной (проектной) документации.

8. Работоспособное состояние (работоспособность) – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

9. Неработоспособное состояние (неработоспособность) - состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Примечание. Для сложных объектов возможно деление их неработоспособных состояний. При этом из множества неработоспособных состояний выделяют частично неработоспособные состояния, при которых объект способен частично выполнять требуемые функции.

Данные понятия охватывают основные технические состояния объекта. Каждое из них характеризуется совокупностью значений параметров, описывающих состояние объекта, а также качественных признаков, для которых не применяют количественные оценки. Номенклатуру этих параметров и признаков, а также пределы допустимых их измерений устанавливают в нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособный объект в отличие от исправного должен удовлетворять лишь тем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Работоспособный объект может быть неисправным, например, если он не удовлетворяет эстетическим требованиям, причем ухудшение внешнего вида объекта не препятствует его применению по назначению.

Для сложных объектов возможны частично неработоспособные состояния, при которых объект способен выполнять требуемые функции с пониженными показателями или способен выполнять лишь часть требуемых функций.

Для некоторых объектов признаками неработоспособного состояния, кроме того, могут быть отклонения показателей качества изготавливаемой ими продукции. Например, для некоторых технологических систем к неработоспособному состоянию может быть отнесено такое, при котором значение хотя бы одного параметра качества изготавливаемой продукции не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) и технологической документации.

Переход объекта из одного состояния в другое обычно происходит вследствие повреждения или отказа. Переход объекта из исправного состояния в неисправное работоспособное состояние происходит из-за повреждений.

В международных документах ИСО, МЭК и ЕОКК введена более детальная классификация состояний. Так, в работоспособном состоянии различают "рабочее состояние" (operating state) и "нерабочее состояние" (non-operating state), при котором объект не применяется по назначению. "Нерабочее состояние" подразделяют в свою очередь, на состояние дежурства (standby state) и состояние планового простоя (idle, free state). Кроме того, различают "внутреннее" неработоспособное состояние (internal disabled state), обусловленное отказом или незавершенностью планового технического обслуживания (ремонта), и "внешне" неработоспособное состояние (external disabled state), обусловленное организационными причинами. В отраслевой документации допускается использование более детальной классификации состояний, не противоречащей приведенной в настоящем стандарте.

10. Предельное состояние - состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна, либо восстановление его рабочего состояния невозможно или нецелесообразно.

11. Критерий предельного состояния - признак или совокупность признаков предельного состояния объекта, установленный нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документацией.

Примечание. В зависимости от условий эксплуатации для одного и того же объекта могут быть установлены два или более критериев предельного состояния.

Переход объекта в предельное состояние влечет за собой временное или окончательное прекращение эксплуатации объекта. При достижении предельного состояния объект должен быть снят с эксплуатации, направлен в средний или капитальный ремонт, списан, уничтожен или передан для применения не по назначению. Если критерий предельного состояния установлен из соображений безопасности хранения и (или) транспортирования объекта, то при наступлении предельного состояния хранения и (или) транспортирования объекта должно быть прекращено. В других случаях при наступлении предельного состояния должно быть прекращено применение объекта по назначению.

Для неремонтируемых объектов имеет место предельное состояние двух видов. Первый вид совпадает с неработоспособным состоянием. Второй вид предельного состояния обусловлен тем обстоятельством, что, начиная с некоторого момента времени, дальнейшая эксплуатация еще работоспособного объекта оказывается недопустимой в связи с опасностью или вредностью эксплуатации. Переход неремонтируемого объекта в предельное состояние второго вида происходит до потери объектом работоспособности.

Для ремонтируемых объектов выделяют два или более видов предельных состояний. Например, для двух видов предельных состояний требуется отправка объекта в средний или капитальный ремонт, т.е. временное прекращение применения объекта по назначению. Третий вид предельного состояния предполагает окончательное прекращение применения объекта по назначению.

Критерии предельного состояния каждого вида устанавливаются нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) и (или) эксплуатационной документацией.

12. Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

13. Критерий отказа - признак или совокупность признаков нарушения работоспособного состояния объекта, установленные в нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Если работоспособность объекта характеризуют совокупностью значений некоторых параметров, то признаком возникновения отказа является выход значений любого из этих параметров за пределы допусков. Кроме того, в критерии отказов могут входить также качественные признаки, указывающие на нарушение нормальной работы объекта.

Критерии отказов следует отличать от критериев повреждений.

Под критериями повреждений понимают признаки или совокупность признаков неисправного, но работоспособного состояния объекта.

14 Внезапный отказ - отказ, характеризующийся скачкообразным изменением значений одного или нескольких параметров объекта.

15 Постепенный отказ - отказ, возникающий в результате постепенного изменения значений одного или нескольких параметров объекта

16. Сбой - самоустраняющийся отказ или однократный отказ, устраняемый незначительным вмешательством оператора.

Эти термины позволяют разделять отказы на категории в зависимости от возможности прогнозировать момент наступления отказа. В отличие от внезапного отказа, наступлению постепенного отказа предшествует непрерывное и монотонное изменение одного или нескольких параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции. Ввиду этого удается предупредить наступление отказа или устранение (локализации) его нежелательных последствий.

Четкой границей между внезапными и постепенными отказами, однако, провести не удается. Механические, физические и химические процессы, которые составляют причины отказов, как правило, протекают во времени достаточно медленно. Так, усталостная трещина в стенке трубопровода или сосуда давления, зародившаяся из трещинообразного дефекта, медленно растет в процессе эксплуатации, этот рост, в принципе, может быть прослежен средствами неразрушающего контроля. Однако собственный отказ происходит внезапно. Если по каким-либо причинам своевременное обнаружение несквозной трещины оказалось невозможным, то отказ придется признать внезапным.

По мере совершенствования расчетных методов и средств контрольно-измерительной техники, позволяющих своевременно обнаруживать источники возможных отказов и прогнозировать их развитие во времени, все большее число отказов будет относиться к категории постепенных.

Отличительным признаком сбоя является то, что восстановление работоспособного состояния объекта может быть обеспечено без ремонта, например, путем воздействия оператора на органы управления, устранением обрыва нити, магнитной ленты и т. п., коррекцией заготовки.

Характерным примером сбоя служит остановка ЭВМ, устраняемая повторным пуском программы с места остановки или перезапуском сначала.

Стандартом предусмотрено еще 15 терминов и определений, касающихся отказов, дефектов, повреждений, причин их возникновения и последствий отказов, а также пояснения к ним.

17. Наработка - продолжительность или объем работы объекта.

Примечание. Наработка может быть как непрерывной величиной (продолжительность работы в часах, километраж пробега и т. п.), так и целочисленной (число рабочих циклов, запусков и т.п.).

18. Наработка до отказа - наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.

19. Наработка между отказами - наработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа.

20. Время восстановления - продолжительность восстановления работоспособного состояния объекта.

21. Ресурс - суммарная наработка объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

22. Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации от начала эксплуатации объекта или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

23. Остаточный ресурс - суммарная наработка объекта от момента контроля его технического состояния до перехода в предельное состояние.

Примечание. Аналогично вводятся понятия остаточной наработки до отказа, остаточного срока службы и остаточного срока хранения.

24. Назначенный ресурс - суммарная наработка, при достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния.

25. Назначенный срок службы - календарная продолжительность эксплуатации, при достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния.

Цель установления назначенного срока службы и назначенного ресурса - обеспечить принудительное заблаговременное прекращение применения объекта по назначению, исходя из требований безопасности или технико-экономических соображений. Для объектов, подлежащих длительному хранению, может быть установлен назначенный срок хранения, по истечению которого дальнейшее хранение недопустимо, например, из требований безопасности.

При достижении объектом назначенного ресурса (назначенного срока службы, назначенного срока хранения), в зависимости от назначения объекта, особенности эксплуатации, технического состояния и других факторов объект может быть списан, направлен в средний или капитальный ремонт, передан для применения не по назначению, переконсервирован (при хранении) или может быть принято решение о продолжении эксплуатации.

Назначенный срок службы и назначенные ресурс являются технико-эксплутационными характеристиками и не относятся к показателям надежности (показателям долговечности).

Однако при установлении назначенного срока службы и назначенного ресурса принимают во внимание прогнозируемые (или достигнутые) значения показателей надежности. Если установлено требование безопасности, то назначенный срок службы (ресурс) должен соответствовать значениям вероятности безотказной работы по отношению к критическим отказам, близким к единице. Из соображений безопасности может быть также введен коэффициент запаса по времени.

26. Восстановление - процесс перевода объекта в работоспособное состояние из неработоспособного состояния.

Техническое обслуживание включает регламентированные в конструкторской (проектной) и (или) эксплуатационной документации операции по поддержанию работоспособного и исправного состояния, очистка, смазывание и т.п.

Восстановление включает в себя идентификацию отказа (определение его места и характера), наладку или замену отказавшего элемента, регулирование и контроль технического состояния элементов объекта и заключительную операцию контроля работоспособности объекта в целом.

Перевод объекта из предельного состояния в работоспособное состояние осуществляется при помощи ремонта, при котором происходит восстановление ресурса объекта в целом. В ремонт могут входить разборка, дефектовка, замена или восстановление отдельных блоков, деталей и сборочных единиц, сборка и т. д. Содержание отдельных операций ремонта может совпадать с содержанием операций технического обслуживания.

27. Показатель надежности - количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

28. Вероятность безотказной работы - вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.

29. Вероятность безотказной работы технологической системы по параметрам продукции (параметрам производительности, затратам) – вероятность того, что в пределах заданной наработки не произойдет отказа технологической системы по параметрам изготовляемой продукции (параметрам производительности, затратам).

30. Вероятность выполнения технологической системой задания по объему выпуска – вероятность того, что объем выпуска технологической системой годной продукции за рассматриваемый интервал времени будет не менее заданного.

Приведенные понятия, термины и определения будем считать основополагающими при изучении дисциплины о надежности и долговечности. О других, не рассмотренных в данном параграфе понятиях, касающихся показателей надежности, безотказности, долговечности, комплексных показателей надежности и эффективности использования объектов и технологических систем и пр. изложено ниже в соответствующих разделах.

РАЗДЕЛ №2

Математические основы расчета характеристик надежности и долговечности.

Законы распределения случайных величин.

Описание реальных процессов, наблюдаемых за состоянием технических объектов и технологических систем, осуществляются вместе с математическим анализом с помощью таких разделов математики, как теория вероятностей, теория распознавания образов, теория массового обслуживания и др. Наиболее часто находят применение законы распределения случайных величин в связи с предположением о случайной природе отказов и неисправностей.

Известно, что величины могут быть детерминированными или случайными. В отличие от детерминированной величины, принимающей определенные заранее известные значения, случайная – это такая переменная величина, значения которой определить заранее можно только с известной степенью вероятности.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина принимает значения, которые можно перечислить. Следовательно, множество значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным. Например, число отказов машины или ее детали за определенный период Т, расход запасных частей, в ремонтном предприятии или число отремонтированных бывших и употреблении деталей за период Т.

Непрерывная случайная величина принимает значения, непрерывно заполняющие некоторый промежуток, границы которого могут быть конкретными или неопределенными (расплывчатыми). В первом случае область определения непрерывной случайной величины есть конечный промежуток, во втором — бесконечный с одной или с двух сторон. Например, длительность t работы машины или детали до первого отказа: 0£t£t, если деталь, отработавшую срок службы (, обязательно сменяют; 0£t<¥, если срок ее службы не ограничивается. Такие случайные величины, как ошибка измерения, абсцисса точки попадания при выстреле и др. имеют областью определении всю действительную ось.

Для описания случайной величины и характера ее изменения служат законы распределения. Это такие соотношения, которые устанавливают связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Аналитическим выражением закона распределения случайной величины Х может служить функция распределения F(х), равная вероятности того, что X принимает значения, меньшие x.

F(х)=Р(Х<х). (2.1)

Функция распределения F(х) определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами:

1. F(-∞) = 0, F(+∞) = 1 (2.2)

2. F(х₁) ≤ F(х₂), если х₁<х₂. (2.3)

3. Р(a£X<b)=F(b)-F(a). (2.4)

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде ряда распределения — таблицы (табл. 2.1) пар чисел (x_i, p_i), где – x₁, x₂,…, x_n— все возможные значения случайной величины X; р₁, р₂,…, p_п — соответствующие им вероятности

p₁ =Р(Х=х₁). (2.5)

Таблица 2.1

В табл.2.1 должно обязательно выполняться условие нормирования

. (2.6)

В таком случае функция распределения

(2.7)

График функции (2.7) (ступенчатая ломаная) и многоугольник (полигон) распределения, соответствующий табл. (2.1), показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1

В качестве примеров распределений, описывающих изменение целочисленной неотрицательной случайной величины Х (Х=0, 1, 2, ... ), можно привести закон Пуассона к отрицательное биномиальное распределение (табл. 2.2).

Распределение непрерывной случайной величины Х полностью характеризуется непрерывной функцией F(x), обладающей свойствами (1-1) — (1- 3). Свойство (1- 4) для непрерывных функций можно заменить более широким.

F(b)-F(a) = Р(a£X<b)= Р(a£X£b) = Р(a<X£b) = Р(a<X<b). (2.8)

В табл. 2.2 приведены 11 различных законов распределения непрерывной случайной величины.

Нормальный закон описывает случайную величину, значения которой неограниченны с двух сторон. Законы логарифмически нормальный, Вейбулла-Гнеденко, Релея и гамма-распределение описывают случайную величину, принимающую любые неотрицательные значения. Случайная величина, значения которой ограничены с двух сторон, описывается бета-распределением (в табл. 2.2 рассматриваются его частные случаи: равномерное, треугольные и параболическое).

Практически различные законы распределения применяются и в тех случаях, когда диапазон возможных значений изучаемой случайной величины меньше области определения. Тогда применяются усеченные распределения, имеющие порог чувствительности.

В теории надежности, например, приведенные законы распределения имеют следующее применение.

Если интенсивность отказов деталей постоянная величина, то длительность безотказной работы машины подчиняется экспоненциальному закону. Такое положение наблюдается в периоде нормальной эксплуатации для внезапных отказов. В периоде появления износовых отказов более подходящим является нормальный закон.

Нормальное распределение имеет место, когда случайная величина зависит от множества различных независимых между собой факторов, особенности которых нивелируются, так как все они равномерно играют в общей сумме относительно малую роль. Без исследования применение во всех случаях нормального распределения является ошибочным.

Таблица 2.2

Основные характеристики законов распределения	Законы распределения случайных величин
нормальный	равномерный	Вейбулла-Геденко
Определяющие параметры
Область изменения случайной величины
Плотность распределения f(x)
Функция распределения F(x)
График плотности f(x)	f(x)   0 x	f(x) h 0 x	f(x) a=4 a=3 1 a=2 a=1 0 x
Среднее значение величины `x
Среднее квадратическое отклонение s
Коэффициент вариации u
Асимметрия as
Эксцесс ek		-1,2
Примечание

Продолжение табл. 2.2

Основные характеристики законов распределения	Законы распределения случайных величин
гамма-распределение	логарифмически-нормальный	Эрланга
Определяющие параметры
Область изменения случайной величины
Плотность распределения f(x)
Функция распределения F(x)
График плотности f(x)	f(x)     0 x	f(x) б=0.1 б=0.3 0.10 б=0.5   0 x	f(x) 1 0 x
Среднее значение величины `x
Среднее квадратическое отклонение s
Коэффициент вариации u			0,707
Асимметрия as			1,414
Эксцесс ek			4,242
Примечание

Продолжение табл. 2.2

Основные характеристики законов распределения	Законы распределения случайных величин
Релея	экспоненциаль-ный	Пуассона
Определяющие параметры
Область изменения случайной величины			m=0,1,2,3,…
Плотность распределения f(x)
Функция распределения F(x)
График плотности f(x)	f(x) 1 0 x б0	f(x)   λ   0 x	pm     m 0 2 4 6 8
Среднее значение величины `x			l
Среднее квадратическое отклонение s
Коэффициент вариации u	0,524
Асимметрия as	0,63
Эксцесс ek	0,25
Примечание

Продолжение табл. 2.2

Основные характеристики законов распределения	Законы распределения случайных величин
отрицательный биномиальный	треугольные	параболический
Определяющие параметры
Область изменения случайной величины
Плотность распределения f(x)
Функция распределения F(x)
График плотности f(x)	Pm   0,2 m 0 3 7 10	f(x)     0 a β х	f(x)     0 a β х	f(x)   a β x
Среднее значение величины `x
Среднее квадратическое отклонение s
Коэффициент вариации u
Асимметрия as		-0,564	0,564
Эксцесс ek		0,6	0,6	-0,857
Примечание

Изучение характеристик потока отказов показало, что распределение длительности безотказной работы деталей и узлов тепловозов может подчиняться законам: экспоненциальному, нормальному, логарифмически нормальному, Вейбулла-Гнеденко, Релея, Эрланга и гамма-распределению.

Частные случаи бета-распределения — равномерное, треугольные и параболическое — не содержат трансцендентных функции, и расчеты, связанные с ними, сводятся к простейшим алгебраическим уравнениям. Поэтому их иногда применяют в качестве простых аппроксимаций более сложных симметричных и асимметричных распределений: параболическое распределение аппроксимирует нормальное, а треугольное с большой приближенностью — гамма-распределение.

Приведенный в табл. 2.2 список распределений не является полным. В литературе описаны и другие законы, например. Применение каждого теоретического распределения для описания изменения наблюдаемой случайной величины должно быть обосновано.

РАЗДЕЛ №3