ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

В механических системах для нахождения связи между силами и перемещениями, которые во многих случаях являются входными и выходными величинами СИ, широко используются уравнения Лагранжа второго рода [45]. Использование уравнений Лагранжа является примером применения одного из интегральных принципов для описания динамики систем. Наиболее фундаментальным ин­тегральным принципом считают принцип Гамильтона [42], суть которого состоит в том, что вариация интеграла по времени от функции Лагранжа L между двумя фиксированными точками и должна равняться нулю:

где — обобщенные координаты и обобщенные скорости; — вариация интеграла функции Лагранжа.

Принцип Гамильтона в дифференциальной форме имеет вид [42]

(4.45)

который при всех независимых дает уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы:

(4.46)

Уравнения Лагранжа (4.46) с силовой функцией Лагранжа L определяют динамическую траекторию системы, включая условия связи, например электромеханической. Использование принципа Д'Аламбера и законов Кирхгофа в данном случае излишне. Кроме того, функция Лагранжа и другие силовые функции имеют основ­ное значение для характеристик физических систем: электрических, механических, электромеханических, химических, термодинамиче­ских и др.

Энергетические функции обычно являются силовыми, посколь­ку зависят, как правило, от состояния системы в данный момент, а не от предыстории. Эти функции, несмотря на различную физиче­скую природу, имеют фундаментальную общность и приводятся к единой математической трактовке. Например, уравнение изменения энергии для механической системы

(4.47)

где — сила и перемещение (координата).

Они описывают энергетические соотношения и в других систе­мах, если считать, что и — обобщенные переменные. Действи­тельно, такими переменными в системах могут быть: в тепловой — температура и энтропия; в электрической — напряжение и заряд; в химической — химический потенциал и число молей и т. д. Таким образом, налицо замечательное свойство аналогии многих природ­ных явлений, которое выражается в том, что количественные зако­номерности могут совпадать для явлений, совершенно разных фи­зически. Разные по своей природе процессы переноса количества движения, массы, теплоты и электричества подчиняются одинако­вым количественным закономерностям и соответствующие физиче­ские величины и параметры этих процессов являются аналогами.

Следовательно, получив энергетическую (силовую) функцию для системы любой физической природы и отождествив, например, обобщенные переменные, силы и координаты, для описания дина­мики этих систем можно использовать интегральный принцип (принцип Гамильтона, уравнения Лагранжа и др.).

Силовая функция Лагранжа в классической механике [45] — это функция системы координат системы скоростей и времени t:

(4.48)

где Т — кинетическая энергия; П — потенциальная энергия. Ла­гранжиан (4.48) не описывает общий случай, так как не позволяет прямо распространить его на нелинейные системы. Это связано с тем, что независимые переменные и не являются функциями еще двух переменных: обобщенной силы обобщенного импульса . Для линейных систем коэффициенты k и т по­стоянны и замена и на и не влияет на первоначальный вы­бор системы независимых переменных. Для нелинейных систем и обычно являются функциями переменных, поэтому такая заме­на должна производиться с учетом выбора независимых координат.

С целью распространения лагранжиана на нелинейные системы разложим его на две функции. Полный дифференциал лагранжиана

(4.49)

Поскольку L — силовая функция и ее конечное значение не зави­сит от пути интегрирования, представляется возможным выпол­нить интегрирование (4.49) при постоянном времени t для условий: при интегрировании по все постоянны или же равны нулю; при интегрировании по все постоянны. Тогда из уравнения (4.49)

(4.50)

Первое слагаемое этого уравнения является функцией только и и для линейных систем равно потенциальной энергии, взя­той со знаком минус. Однако при интегрировании не накладыва­лось условие линейности, поэтому полученное выражение справед­ливо и для нелинейных систем, то есть в общем случае обобщенная сила (потенциальная)

(4.51)

потенциальная энергия

(4.52)

Потенциальная энергия для механических линейных стационарных систем [45] является однородной квадратичной функцией коорди­нат:

(4.53)

где — постоянные коэффициенты, имеющие смысл и размер­ность упругости.

Обобщенные силы потенциального поля

(4.54)

Второе слагаемое уравнения (4.50)—функция конечных зна­чений координат и скоростей и для линейного слу­чая соответствует кинетической энергии или запасенной магнит­ной энергии (при . В нелинейном случае второе слагаемое представляет собой кинетическую коэнергию :

(4.55)

где — обобщенный импульс кинетических потенциалов,

. (4.56)

Следует отметить, что на практике кинетическую энергию чаще опре­деляют путем интегрирования по обобщенным скоростям , чем по обобщенным импульсам. При этом кинетическую энергию полу­чить проще, чем кинетическую коэнергию.

Для механических линейных стационарных систем кинетиче­ская энергия (Т = Т') может быть представлена [45] в виде одно­родной квадратичной функции скоростей:

(4.57)

где — постоянные коэффициенты, характеризующие инерци­онность и имеющие смысл и размерность массы.

Обобщенная i-я сила, вызванная изменением кинетической энергии системы,

(4.58)

Уравнения Лагранжа второго рода (4.46), Лагранжиан (4.48) и по­лученные соотношения для определения энергий реальных систем необходимо дополнить диссипативной функцией Рэлея, отражаю­щей необратимые потери энергии, например нагрев активных сопротивлений, нагрев тел за счет трения и т. д. Для линейных систем

(4.59)

где — коэффициенты, имеющие смысл и размерность сопротив­ления.

Силы рассеяния

(4.60)

Тогда окончательно уравнения Лагранжа (4.46), устанавливающие связь между изменениями энергий внутри системы и внешними обобщенными силами, имеют вид

(4.61)

где — i-я внешняя сила, действующая на систему.

Эти уравнения полностью определяют движение системы, если известны значения энергий Т' или Т, П и Ф. Кроме того, эти урав­нения можно распространить на электрические и электромехани­ческие системы или измерительные цепи, отождествив, например, кинетическую энергию Т с магнитной , а потенциальную П — с электрической

ПРИМЕР ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ