Покажем теперь, что равенство (1) влечёт за собой равенство

Действительно, если имеет место (1), то

Обозначим

, .

Записывая вторую сумму в виде

,

получим:

Остаётся воспользоваться непосредственно проверяемым равенством . В результате получаем:

,

что и требовалось доказать.

Числа ( ) называются биномиальными коэффициентами.

Если в (1) положить , то получим равенство

. (6)

Оно связывает между собой все биномиальные коэффициенты при каждом фиксированном показателе степени и замечательно, например, тем, что даёт ответ на вопрос о числе всех подмножеств множества, состоящего из элементов. Действительно, из комбинаторики известно, что есть число всех k - элементных подмножеств такого множества (число всевозможных сочетаний из элементов по ( ) ). Равенство (6) означает, что число всех подмножеств такого множества (включая и пустое множество Æ) равно . (Соответствующий результат, естественно, без учёта Æ был получен в середине XVI в. итальянским математиком Дж. Кардано.)

Лекция № 2

Понятие функции

1° Область определения, множество значений и

график функции

Определение 1. Пусть и – два произвольных множества. Если каждому элементу по некоторому правилу поставлен в соответствие в точности один элемент , то говорят, что на множестве задана (определена) функция со значениями в множестве .

При этом пишут: и говорят ещё, что функция отображает множество Х в множество У.

Элемент называется образом элемента , а – прообразомэлемента (рис.1). Множество называется областью определенияфункции . Множество всех тех элементов , каждый из которых является образом некоторого элемента , называется множеством значений этой функции и обозначается символом .

Рис. 1

Замечания.

1. Обратим внимание на единственность образа для каждого элемента . Таким образом, постулируемое в определении 1 свойство однозначности является атрибутом понятия функции.

2. Имеет место включение , то есть a priori множество может оказаться выбранным с некоторым “запасом” по отношению к множеству значений функции (рис.1).

Правило в определении функции может осуществляться различными способами. В ближайших лекциях предполагается, что и . Таким образом, являются функциями одной независимой действительной переменной , принимающими действительные значения . Рассмотрим пример.

Пусть .

При указании области определения этой функции исходим из того, что должно выполнятся неравенство Решая его, находим что . Таким образом, .

Историческая справка. До XIX века ограничивались тем, что так или иначе функцию отождествляли с некоторым аналитическим выражением, при подстановке в которое значений независимой переменной получаются соответствующие её значения. Накопление материала, как в количественном, так и в качественном отношении, привело к выявлению самой сущности рассматриваемого понятия. В результате выкристаллизовалось определение функции, заключающееся в постулировании как таковом соответствия между элементами двух множеств.

Определение 2. Графикомфункции называется множество точек на плоскости вида:

.

2° Взаимно однозначная и обратная функции

Определение 3. Функция называется взаимно однозначной на множестве , являющемся подмножеством Х ,

если выполняется: .

Говорят ещё, что отображение, осуществляемое функцией f , инъективнона множестве .

Имеется очень простой критерий взаимной однозначности функции

f: .

Именно, каждая горизонтальная прямая пересекает график этой функции не более чем в одной точке, имеющей абсциссу, принадлежащую . Например, .

Определение 4. Пусть функция взаимно однозначна на множестве . Обратной к ней функцией называется функция, обозначаемая символом , определённая на множестве и задаваемая следующим образом. ставится в соответствие элемент такой, что .

Обратная матрица осуществляет обратное отображение в случае, когда отображение задается невырожденной квадратной матрицей в соответствующем конечномерном пространстве.

Если данная функция не инъективна, обратная к ней функция не определена. Действительно, не указано, какой из элементов ( или ) ставится в соответствие элементу , соответствующему каждому из них при отображении f .

3° Сложная функция

Продемонстрируем эффективность использования в данном случае специализированных программных средств.

Задача 1 ([3], с. 31, № 210). Пусть . Найти , если .

Решение. Найдём сначала выражения функций и

. Вводя в программу Maple выражение данной функции , будем иметь:

> f:=x->x/sqrt(1+x^2);

f[2]:=f(f(x));

simplify(f[2],symbolic);

а также

>f:=x->x/sqrt(1+x^2):

f[3]:=f(f(f(x)));

simplify(f[3],symbolic);

Анализируя полученные для функций и выражения, можно предположить, что имеет место формула

. (1)

Докажем её методом математической индукции. Для эта формула справедлива. Убедимся, что из (1) следует формула

.

Вновь обращаясь к программе Maple, получим:

> f:=x->x/sqrt(1+x^2);

fn:=x->x/sqrt(1+n*x^2);

f(n+1):=f(fn(x)):

simplify(f(n+1),symbolic);

Остаётся сгруппировать слагаемые под корнем полученного выражения:

>collect(1+n*x^2+x^2,x^2);

Лекция №11

Приложения дифференциального исчисления

В ряде приложений оказывается полезным понятие относительной производной функции или, как говорят в экономике, эластичностифункции.

Определение 1. Эластичностьюфункции относительно независимой переменойв точке x называется число равное

, (1)

то есть произведению отношения независимой переменной к значению функции и производной функции в этой точке.

Для того, чтобы пояснить целесообразность введения такой функциональной характеристики, нам понадобится

Определение 2. Пусть – некоторое приращение независимой переменной в точке x . Относительным приращением независимой переменной в точке называется число , а относительным приращением функции в этой точке – число .

Естественно, подразумевается, что каждое из чисел и отлично от нуля.

Предположим теперь, что . Другими словами, пусть приращение составляет 1% от числа . В этом случае имеет место равенство

. (2)

Сделаем простое замечание общего характера. Пусть и – два произвольных положительных числа. Тогда есть ничто иное, как число процентов, которое составляет от . Например, если, и , то . Именно столько процентов число 3 составляет от числа 20.

Возвращаясь к равенству (2), рассмотрим его правую часть. В силу сделанного замечания, она равна числу процентов, которое составит приращение функции , последовавшее вслед за приращением независимой переменной в точке , от значения функции в этой точке. Но

.

Следовательно, при малых приращениях можно записать приближенное равенство

В частности, когда составляет 1% от , будем иметь:

Итак, эластичность функции относительно независимой переменной приблизительно равна числу процентов, которое составит приращение функции, последовавшее вслед за увеличением независимой переменной на 1%, от исходного значения функции.

Отметим несколько необычные в среде математического анализа свойства введённого выше понятия.

Теорема 1.

(а) Эластичность произведения функций равна сумме эластичностей сомножителей.

(в) Эластичность частного функций равна разности эластичностей делимого и делителя.

Доказательство. Убедимся, например, в том, что если и , то

.

По определению эластичности функции

.

Пользуясь формулой для дифференциала частного , получим:

.

В качестве экономического приложения введённого выше понятия рассмотрим функцию спроса относительно цены (см., например,).

Так как в стабильной рыночной ситуации эта функция является не возрастающей, то имеет место неравенство . Для того чтобы при практических вычислениях избежать отрицательных чисел, вместо рассматривают величину, отличающуюся от неё знаком.

Определение 3. Эластичностьюспроса относительно цены называется число, равное

. (3)

Таким образом, отличается знаком от соответствующей относительной производной функции (см. (1)) и приблизительно равна числу процентов, которое составит уменьшение спроса на товар от исходного спроса, если цену на товар увеличить на 1%.

Если значения таковы, что выполняется неравенство >1 , то говорят, что спрос эластичен относительно цены. В случаях, когда , либо, когда , говорят соответственно о нейтральностии неэластичности спроса относительно цены.

Приведём пример.

Пусть известно, что при имеет место зависимость: .

Так как то Решая уравнение , находим, что является единственной ценой, при которой спрос нейтрален (т.е. увеличение цены на 1% влечёт за собой падение спроса также на 1%). Соответственно получаем, что при спрос эластичен, а при – неэластичен относительно цены. Например, если , то увеличение цены на 1% влечёт падение спроса на 1,5%.

Лекция №12

Глобальные свойства непрерывных функций

Лемма (о стягивающихся отрезках). Пусть последовательность отрезков такова, что каждый последующий отрезок содержится в предыдущем и

. (1)

Тогда существует единственная точка , принадлежащая каждому из этих отрезков. При этом

.

Доказательство. Рассмотрим две монотонные последовательности: и . Первая последовательность не убывает и ограничена сверху (например, числом ). Вторая не возрастает и ограничена снизу (например, числом ). Таким образом, каждая из этих последовательностей является сходящейся. Обозначим

И .

По теореме о пределе разности последовательностей получаем:

.

В силу предположения (1) отсюда следует, что . Обозначим общий предел последовательностей и буквой .

Заметим далее, что

и .

Таким образом, . Следовательно, .

Предоставляем читателю убедиться, что не существует другой точки, отличной от точки , принадлежащей всем отрезкам .

Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция удовлетворяет условиям:

1° непрерывна на отрезке ;

2° .