Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

В прикладных задачах часто требуется найти не экстремумы изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, согласно теореме (§3.5), функция достигает своего наибольшего или наименьшего значений либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при =а или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка , т.е. и ;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

1) ;

; , , ;

2) , , ;

3) ; ;

4) , .

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Для уточнения поведения функции и формы графика функции рассмотрим вопросы, связанные с понятием направления выпуклости.

Определение.

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).

Рис. 5.8

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других − вогнутым. Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную: , то график функции в этом интервале выпуклый. Если − график вогнутый.

Определение.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.5.9).

Рис. 5.9

Из определения следует, что при переходе через точку перегиба, меняется направление выпуклости кривой, следовательно, в этой точке меняет свой знак. Заметим, что может менять свой знак лишь в точках, где она равна нулю, или в точках, где не существует. Отсюда получаем необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Теорема(необходимое условие существования точки перегиба)

Если функция дважды дифференцируема на интервале и является точкой перегиба, то или не существует.

Теорема(достаточное условие существования точки перегиба)

Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используют следующую схему:

1) найти ;