Применение первого замечательного предела

Правило.Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:

или ,

где и .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

4. .

Применение эквивалентных бесконечно малых величин

Правило.Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Неопределенности вида и

Если и при , то их разность представляет собой неопределенность вида .

Если и при , то их произведение − это неопределенность вида .

Правило.Неопределенности вида и раскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям вида или .

Примеры

Найти пределы функций:

Неопределенности вида , ,

Пусть функция имеет вид:

Если при , , а , то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:

; ;

или

; .

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

Если при , , а , то имеем неопределенность вида .

Если и при , то имеет место неопределенность .

Для раскрытия неопределенностей вида и их преобразуют и сводят к неопределенности вида следующим образом:

Примеры

Найти пределы функций:

1. ;

2. ;

В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.

Упражнения

Односторонние пределы. Найти пределы:

1. ; Ответ: ;