Отношение доминирования по Парето

Векторная оценка d = (d₁, d₂, …, d_k) доминирует по Парето векторную оценку d¢ = (d₁¢, d₂,¢ …, d_k¢) (d f d¢), если для любого j = 1, …, k имеет место

d_j ³ d_j¢ и, по крайней мере, для одного индекса j неравенство является строгим.

Исход a₁ доминирует по Парето исход a₂ (a₁ f a₂), если векторная оценка исхода a₁ доминирует по Парето векторную оценку исхода a₂.

Парето-оптимальность исхода a^* означает, что он не может быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по какому-нибудь другому критерию.

Случай двух позитивных критериев f₁ и f₂ представлен на рисунке 4.1.

Парето-оптимальное множество М_п на рисунке 4.1 составляют исходы:

М_п = {4, 5, 7, 8}.

Если же оба критерия f₁ и f₂ негативны, то М_п = {1, 2}.

«Кандидатом» на оптимальное решение многокритериальной ЗПР может являться только парето-оптимальный исход.

Рисунок 4.1 – Случай двух критериев

Рассмотрим построение множества M_п на примере выбора места работы.

Пример. Требуется выбрать место работы из девяти вариантов, представленных в таблице 4.1. В качестве критериев выбраны следующие: З — зарплата (в рублях), Д — длительность отпуска (в днях), В — время поездки на работу (в минутах). Первые два критерия позитивные. Последний критерий является негативным. Он имеет характер потерь. Оценки по нему берутся со знаком «-».

Выделим парето-оптимальное множество M_п. Имеют место следующие

отношения доминирования альтернатив:

3 f 9, 6 f 2, 6 f 8, 7 f 1.

Получим M_п = {3, 4, 5, 6, 7} (таблица 4.2):

Проблема оптимальности для многокритериальных ЗПР

Не существует единого принципа оптимальности для многокритериальных задач, так как понятие векторного оптимума не определено.

Два парето-оптимальных исхода не сравнимы относительно доминирования по Парето.

Парето-оптимальное множество M_п — это лучшее, что может предложить математика, если о задаче нет никакой дополнительной информации.