С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ранга не представляет труда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица называется ступенчатой, если она имеет следующий вид: , где

ТЕОРЕМА: Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк матрицы после приведения ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы, используя элементарные преобразования

РЕШЕНИЕ: ,

Получили 2 нуля в 1 столбце под , получим во втором под

.

Таким образом, привели матрицу к ступенчатому виду, ранг такой матрицы, а, следовательно, и исходной равен числу ненулевых строк .

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы, используя элементарные преобразования

РЕШЕНИЕ: Ранг данной матрицы , т.к. ,а у нас

В данной ступенчатой матрице число ненулевых строк 3 .