Метод заміни змінної

У багатьох випадках введення нової змінної дозволяє звести обчислення заданого інтеграла до обчислення табличного інтеграла. Такий метод інтегрування називають методом замінизмінної або методом підстановки.

Використання метода є доцільним у двох випадках.

У першому випадку у підінтегральному виразі змінну х дорівнюють деякій функції з таким розрахунком, щоб після підстановки у під інтегральний вираз заданий інтеграл став табличним або обчислюваним за відомим методом.

У другому випадку деякий вираз із підінтегральної функції позначають за нову змінну t з таким розрахунком, щоб у нових позначеннях інтеграл став, знову ж таки, табличним або обчислюваним за відомим методом.

Підстановка, яка описана у першому випадку, використовується для теоретичного обґрунтування методу заміни змінної. Вона також застосовується у методі тригонометричних підстановок, методах інтегрування ірраціональних функцій, які будуть детально розглянуті пізніше.

Підстановка, яка описана у другому випадку, є найбільш поширеною у прикладах у навчальній літературі.

Обґрунтуємо застосування методу заміни змінної.

Теорема. Нехай функція є неперервною разом із своєю похідною, тоді має місце рівність:

.

(19.19)