Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 3.18).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δт_к. Каждая точка движется по окружности радиуса r_k с касательным ускорени­ем и нормальным ускорением , где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

— касательную

— нормальную

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: где M_z - момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны , где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим . рис.3.18

Величина называется моментом инерции тела от­носительно оси вращения и обо­значается J_z.

В результате получим выра­жение основного уравнения дина­мики вращающего тела: , где M_z — сумма моментов внешних сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ . Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.