Интегралы движения системы М-точек

1) Импульс системы ; , (13) для замкнутой системы М-точек, для которой .

Имеем 3 интеграла движения для консервативных систем.

2) Момент импульса (механический момент) и (19). Но для изотропного пространства, консервативной системы сумма моментов внешних сил и (20).

Еще 3 интеграла движения консервативной системы предполагает однородность времени и , а потому из (3) следует, что

и .

Теорема Э. Нетер: для нерелятивистских механических консервативных систем имеем 7 функционально независимых интегралов движения.

Лекции 7-8

Теорема Лиувилля и следствие из нее. Квантование в фазовом пространстве. Элемент фазовой протяженности. Статистический вес тела. Энтропия

1. Теорема Лиувилля: элементы фазовых объемов dW₀ и dW равны, если в dW перешли по фазовым траекториям фазовые точки из dW₀ за время dt. Скорость «расползания» точек 1, 2 суть , скорость «расползания» точек 1, 4: . Отрезки объема 1¢2¢3¢4¢ и . Отбрасывая член с dt², имеем . Но скобка равна нулю в силу уравнений Гамильтона. Теорема доказана для n=1. Обобщаем на любое n. Имеем очевидное соотношение:

(1). Но по теореме Лиувилля, т.е. (2) в силу законов движения. Значит r - интеграл движения.

Легко подобрать условия (систему координат), чтобы два тела было , . Тогда по теореме Э. Нетер

(3).

2. Статистическая теория в квантовом обобщении требует, чтобы и поэтому на квантовое состояние в фазовом пространстве приходится элемент числа микросостояния (квазиклассическое приближение). (4) в ситуации квазинепрерывности квантовых переходов.

3. Статистический вес Г макроскопической системы. Энтропия. Полное число возможных при данных термодинамических условиях для тела число микросостояний называется статистическим весом системы Г. Это астрономически большое число. Поэтому вводим функцию

, (5) причем для того, чтобы сохранить размерность величины (термодинамическая энтропия), вводим множитель Дж/К. Функция (5) - энтропия в статистике. Ниже покажем, что она совпадает с энтропией в термодинамике.

Лекции 9-10

Соотношения для средних по времени и по фазовому пространству. Связь между функциями r и S. Система в термостате. Функция распределения по Гиббсу. Постановка задачи

1. среднее значение физической величины f, которая зависит от времени через посредство q и p или явно оценивается как

(1),

t - достаточно большой промежуток времени наблюдения. Расчет величины (1) нереален. Если воспользоваться постулатом Гиббса и распределением в фазовом пространстве, то (2). Мы здесь вместо dW ввели элемент фазовой протяженности ~ , причем (3). Постулируем для консервативных механических систем (газ, жидкость, твердое тело), что (3) и делаем возможным математическое решение проблемы о средних величинах в физике.

2. Свяжем Г и r, исходя из общей записи условия нормировки для функции r: , где g_K - число микросостояний для данного уровня энергии Е_К. Усредняем это условие:

или .

Поэтому (4).

Мы здесь воспользовались свойством lnr линейно зависеть от энергии системы (см. ниже).

Для замкнутых систем с в необратимых процессах имеет место . Поэтому для отыскания равновесной функции распределения можно в соответствии со 2-м законом термодинамики потребовать (5); из этого условия варьирования S находится в самом общем случае r.

3. Пусть имеем систему 2, погруженную в термостат 1 (см. рис. 2). И система, и термостат находятся в состоянии теплового равновесия. Наша задача - найти функцию распределения r для системы 2 в этих условиях.

Можно записать для 1, 2 условия:

, (6)

. (7)

Здесь Е₁₂ энергия взаимодействия 1 и 2, r - функция распределения для полной системы, g₁₂ учитывает возможную корреляцию 1 и 2 за счет граничных эффектов.

Характерный размер 1 - L₁, системы 2 - L₂, толщина граничного слоя , .

Лекция 11-12

Вывод функции распределения по Гиббсу. Свойства параметров функции Гиббса. Свободная энергия системы. Статистическая сумма.

1.Поскольку естественно допустить, что Е₁~ , Е₂~ , а Е₁₂~ , ~ величинами Е₁₂в уравнении энергии

Е=Е₁+Е₂+Е₁₂ (1)

Это возможно в силу короткодействующих межатомных сил. Можно пренебречь и коррелятор g₁₂ в выражении

r=r₁r₂ g₁₂(2)

Оценка: <<1, можно принять g₁₂=1. В этом случае имеем систему функциональных уравнений:

Е=Е₁+Е_2,(3)

r(E)=r₁(E₁)r₂(E₂) (4)

Последнее уравнение запишем в виде (5)

В (4-5) мы использовали теорему Лиувилля, т.е. возможность записать функцию распределения как функции энергии тела или его частей. Система уравнений (3)-(5) решается подстановкой Гиббса:

lnr(E)=aE+b (6)

причем a₁=a₂=…=a, b=b₁+b₂+… (7).

Тогда (8)

Легко показать, что должно иметь место a<0 и можно положить:

a= , b= (9)

q - статистическая температура (q³0), F – свободная энергия тела.

Нормировка: (10)

1. Из условия нормировки (10) легко находим:

или F= (11)

Интеграл (12) называется статистической суммой для квазистатического случая квантовой механики.

Строгое выражение нормировки имеет вид:

=1 (13)

и, соответственно

Z= (14)

g_{12 –}число микросостояний для уравнения энергии Е_k_.Уравнение Е_k энергии находится из уравнения Шреденгера квантовой механики:

(15)

- волновые функции, a=1,…, g_k ; Е_k – уровни энергии системы.

Лекция 13–14

Математический аппарат статистической физики

1) рассчитаем статистическую сумму, для простейшей системы, в которой нет взаимодействия: идеальный газ.

Мы имеем для идеального одноатомного газа:

(1)

здесь проекция векторов импульса на оси координат , а координаты частиц в объеме суть: , i=1,…,3N. Имеем:

(2)

В знаменателе (2) учтено то обстоятельство, что при интегрировании по X_i в координатных интегралах можно интегрировать и по тем точкам, где находятся частицы. Повторы устраняются делением на число перестановок з N частиц, т.е. N!.

Рассчитаем теперь Z для гармонического осциллятора, т.к. связь между атомами в кристаллах модно моделировать таким образом. Расчет проведем учитывая возможную дискретность квантовых состояний, т.е. для соседних уравнений энергия ΔE может быть сопоставима с . Расчет проводится на основе , n=1,2,3,…(3)

(4)

Используется известная формула суммы геометрической прогрессии, у которой знаменатель .

2) Теорема Гиббса–Гемгольца: (5)

Для получения этого выражения дифференцируем условие нормировки по для функции ρ: (6)

3) Уравнение состояния тела находим таким же способом. Производную от левой и правой части (6) берем как по параметру по V, причем учитываем, что P_микро, создаваемое частицами тела на уровне микропроцессов (7)