Сопротивления и области их применения

Для определения потерь по длине применяется формула Дарси-Вейсбаха

h₁ = λ .

Чтобы выбрать соответствующую зависимость для λ, предлагается простой алгоритм. Обычно заданы: расход Q, диаметр трубы d, кинематический коэффициент вязкости ν и величина эквивалентной шероховатости k_э (из таблиц) для данного материала. В табл. 10.1 приведены значения k_э для труб из разных материалов.

Таблица 10.1

Определяют:

а) среднюю скорость V= = ;

б) число Рейнольдса Rе = ;

в) относительную шероховатость .

1. Если Rе < 2300, то имеет место ламинарный режим и

λ = . (10.1)

2. Если Rе > 4000, то определяют величину параметра

Rе .

3. Если Rе < 10, то имеет место гладкостенная зона сопротивления и λ определяется по формуле Блазиуса

λ = . (10.2)

4. Если 10 < Rе < 500, то имеет место доквадратичная зона сопротивления и λ определяется по формуле Альтшуля

λ = 0,11 (10.3)

5. Если Rе > 500, то имеет место квадратичная зона сопротивления и λ определяется по формуле Шифринсона

λ = 0,11 . (10.4)

Задача 10.1. Определить, какой степени средней скорости пропорциональны потери по длине в каждой из зон сопротивления.

Решение. Используется формула Дарси-Вейсбаха (9.14) и зависимость для в соответствующей зоне сопротивления.

1. Для ламинарного режима 64/ Rе и потери h_l выразятся так

или, сокращая числитель и знаменатель на V, .

В правой части последней формулы первый сомножитель не зависит от скорости и величина h_l имеет вид h_l = , т.е. потери в ламинарной зоне сопротивления пропорциональны первой степени скорости.

2. В зоне квадратичного сопротивления λ определяется по формуле λ=0,11 , а потери выразятся так h_l=0,11 .

Так как первый сомножитель в правой части не зависит от скорости, то потери h_l пропорциональны скорости в квадрате, откуда и название зоны – квадратичная зона сопротивления.

Задача 10.2. Поток в трубе находится в квадратичной зоне сопротивления. Как изменятся потери по длине в этой трубе, если расход в ней увеличить в два раза?

Решение. Учитывая решение задачи 10.1, заключаем, что если расход увеличить в два раза, то и средняя скорость увеличится в два раза и поэтому (поскольку зона квадратичная) потери возрастут в 2², т.е. в 4 раза.

Задача 10.3. Отрезок трубы внутренним диаметром d₁=100 мм был заменен отрезком трубы такой же длины, но внутренним диаметром d₂, в 2 раза меньшим: d₂=50 мм.

Определить, как изменились потери на этом участке при такой замене. Расход воды остался таким же; считаем для упрощения решения, что в обоих случаях квадратичный режим, изменение λ не учитываем.

Решение. Для решения задачи достаточно определить отношение потерь h₁ в трубе с d₁=100 мм к h₂ в трубе с d₂=50 мм. Выражения для h₁ и h₂ по формуле Дарси-Вейсбаха (9.14)

и . Их отношение . (10.5)

Согласно уравнению неразрывности

или .

Если возведем обе части последнего равенства в квадрат, получим

. (10.6)

Подставляя (10.6) в (10.5), имеем окончательно .

Если , то

.

Таким образом, потери увеличились в 32 раза! Если учесть, что также зависит от диаметра, то получим несколько меньшее число.

Этот же результат возможно получить, оценивая порядок величин, а именно, потери выражаются зависимостью

или . (10.7)

Средняя скорость выражается так

V=Q/S или V~1/d ²,

т.е. при обратно пропорциональна квадрату диаметра, а средняя скорость в квадрате, соответственно, обратно пропорциональна четвертой степени диаметра, т.е.

V² ~1/d ⁴ . (10.8)

Имея в виду (10.7) и (10.8), получаем в данном случае

h₁~1/d ⁵,

т.е. потери обратно пропорциональны диаметру в пятой степени. Этот результат имеет большое значение при гидравлических расчетах водопроводных сетей.