Методом деления отрезка пополам

Суть метода состоит в следующем.

Пусть необходимо найти решение x = x₀ некоторого уравнения

(П1.10)

на некотором интервале области определения (x₁; x₂), содержащем решение, то есть x₁ < x₀ < x₂ (рис. П1.14).

Рис. П1.14. Иллюстрация метода деления отрезка пополам

На первом этапе функция исследуется на монотонность
в заданном интервале (x₁; x₂). Для этого вычисляется производная:

(П1.11)

Если производная не меняет знака (изменяется монотонно) в интервале (x₁; x₂), то можно с уверенностью сказать, что уравнение (П1.10) в интервале (x₁; x₂) имеет не более одного корня.

Как видно из графика, рис. П1.14, производная – монотонно
отрицательна в интервале (x₁; x₂).

Далее метод деления отрезка пополам реализуется следующей последовательностью вычислительных процедур.

1. Вычисляется значение функции в точках х₁ и х₂. В нашем случае ; .

2. Если значение y₁ и y₂ имеют разные знаки, т.е. y₁y₂ < 0, то вычисляется следующее приближение аргумента по формуле .

3. Из графика функции видно, что . Таким образом, значения функции и имеют одинаковые знаки, т.е. y₂y₃ > 0, а значения функции и имеют разные знаки, т.е. y₁y₃ < 0. Поэтому следующее приближение аргумента вычисляем по формуле .

4. Из графика функции видно, что . Таким образом y₁y₄ > 0, а y₃y₄ < 0. Поэтому очередное приближение аргумента х₅ вычисляется по формуле .

5. Процедура последовательных приближений аргумента к корню уравнения х₀ по указанному алгоритму производится до выполнения условия

,

где g – максимально допустимая погрешность определения значения корня х = х₀ уравнения (П1.10).