Виведення розрахункових формул. Збуджені вібратором поперечні коливання струни поширюються до верхньої точки закріплення струни
Збуджені вібратором поперечні коливання струни поширюються до верхньої точки закріплення струни. Тут хвиля відбивається і рухається у зворотньому напрямі. В результаті у струні виникають стоячі хвилі. При цьому точки закріплення струни є одночасно вузлами стоячої хвилі, оскільки стоячі хвилі виникають тільки при таких частотах, коли на довжині струни L вкладається ціле число півхвиль, тобто ціле число довжин стоячої хвилі.
Звідси випливає, що
або 
, (1)
де n= 1, 2, 3 ...
Відповідні власні частоти коливань струни зв’язані з довжиною хвилі співвідношенням:
νn 
, (2)
де u - швидкість поширення хвиль у струні, однакова для всіх частот.
Найнижча частота ν1 
називається основним тоном коливань або першою гармонікою. Всі вищі частоти, кратні до ν1, називаються обертонами, наприклад: подвоєна частота ν2 = 2ν1– це перший обертон або друга гармоніка і т.д.
Вигляд струни у випадку спостереження основного тону та першого і другого обертонів подано на рис.2.
|
 |
Швидкість поширення поперечних хвиль у струні залежить від сили натягу струни:
= 
= 
= 
. (3)
де F=mтg- сила натягу струни (mт –маса тягарця),
– густина матеріалу струни (m – маса струни, V – її об’єм ),
S - площа поперечного перерізу струни, L – довжина струни.
Позначивши 
- маса одиниці довжини струни, або лінійна густина струни, одержимо:
. (4)
Враховуючи (4), для частот коливань струни отримаємо вираз:
νn 
, (5)
де n=1, 2, 3 ...
Виберемо за початок відліку одну із точок закріплення струни і вісь х спрямуємо вздовж струни. Тоді рівняння стоячої хвилі, що виникає у струні при частоті νn , запишемо у вигляді:
n =2A sin k(L-x) cos(kL - 
t)=Acт cos( 
n – ωt), (6)
де n - поперечне відхилення точки струни з координатою x у момент
часу t;
- хвильове число;
Acт=2A|sin 
(L-x)|- амплітуда стоячої хвилі
З умови (L-xп) = (2m+1)πзнаходимо координати пучностей (Аст=2А)стоячої хвилі: xn=[n-(m+ 
)] 
. (7)
З умови (L-xв) = mπзнаходимо координати
вузлів( Аст =0)стоячої хвилі: xв = (n – m) (8)
В таблиці наведені координати пучностей xn і вузлів xв для основного тону (n=1) і вищих гармонік (n=2,3).
| n | m | xn | xв |
| 1 ∕2 L | L | ||
| 3∕4 L 1∕4 L | L | ||
| 1∕2L | |||
| 5∕6 L 1∕2 L 1∕6 L | L | ||
| 2∕3 L | |||
| 1∕3 L | |||
При підготовці до виконання роботи використати:
Дата добавления: 2015-07-22; просмотров: 620;