IV. Системы счисления

Самостоятельная работа: [3] – стр. 82–104; [4] – стр. 87–103

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Символы алфавита систем счисления называются цифрами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных значение цифры не зависит от положения в числе. Пример: Римские цифры. Величина числа – это сумма или разность цифр числа. Пример:

IIXXX=10+10+10-1-1=28₁₀

В позиционных количественное значение цифры зависит от её положения в числе. Пример: запись арабскими цифрами. Каждое число можно представить в виде многочлена. Пример:

333₁₀=3*10⁰+3*10¹+3*10²; 333₁₂=3*12⁰+3*12¹+3*12²= 3+3*12+3*144=471₁₀

Базовой системой счисления в вычислительной технике является двоичная система. Так как коды чисел и команд в ней слишком длинные, в документации используют более компактную запись по родственным основаниям: в восьмеричной или шестнадцатиричной системе.

Таблица соответствия двоичных, восьмеричных и шестнадцатиричных цифр десятичным числам:

Примеры: 1F3D₁₆=13*16⁰+3*16¹+15*16²+1*16³=7997₁₀

37₈=7*8⁰+3*8¹=31₁₀

0110₂=0*2⁰+1+2¹+1*2²+0*2³=6₁₀

1Кб=10 000 000 000₂ =1024₁₀

Перевод дробных чисел из одной системы в другую, способы выполнения арифметических операций в разных системах – [4] – стр. 87–103

Типовые задачи:

1. Представить в десятичной системе результат суммирования 111₂ и 111₂. Ответ: 1110₂=0*2⁰+1*2¹+1*2²+1*2³=14_10.

2. Числа в двоичной системе имеют вид: 10101 и 1000. Какой вид имеет их разность? Ответ: 1101₂

3. Результат вычисления 2⁷+2⁴+1 в двоичной системе имеет вид: 10 010 001₂

4. Упорядочить по возрастанию последовательность чисел: 55₈, 55₁₆, 55₇. Ответ: 55₇, 55₈, 55_16.

5. Упорядочить по убыванию последовательность чисел: 10 бит, 20 бит, 2 байта. Ответ: 20 бит, 2 байта, 10 бит.

6. Каков информационный объём фразы «Я помню чудное мгновенье» в Unicode? Ответ: 24 символа*16 бит=384 бит=48 байт

V. Основные понятия алгебры логики

Самостоятельная работа [3] – стр. 108–143; [4] – стр. 122–146

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий логические высказывания и логические операции над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Примеры: «студент 511 группы», «в городе более миллиона жителей» (без указания названия города) – не логические высказывания. «Иванов – студент 511 группы», «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жителей» – логические высказывания.

Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» называются логическими связками. Они позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.

Составные высказывания – образованы из других с помощью логических связок.

Элементарные высказывания – не содержат в себе других высказываний.

Для того, чтобы исследовать общие характеристики высказываний, абстрагируясь от предметной области, к которой они относятся, их обозначают буквами латинского алфавита, и рассматривают как логические переменные, принимающие только два значения: «истина» и «ложь». Каждая логическая связка рассматривается как операция, результат которой зависит от значений входящих в неё переменных (то есть высказываний). Для упрощения записи вместо слов «истина» и «ложь» используют двоичные цифры: «истина»=1, «ложь»=0.

Пример: А= «Тимур поедет летом на море»; В= «Тимур летом оправится в горы»

А и В = «Тимур летом побывает и на море, и в горах»

Основные логические операции (иерархия сверху вниз):

Название	Обозначение	результат
Отрицание, инверсия (связка «не»)	`А, ùА	А=0® ùА=1 А=1® ùА=0
Коньюнкция, лог. Умножение (связка «и»)	А·В, А&В, А^В	А=1, В=1® А·В=1, в остальных случаях – =0
Дизъюнкция, лог. Сложение (связка «или»	АvВ, А+В	А=0, В=0® АvВ=0, в остальных случаях – =1
Импликация (связки «если…, то», «из… следует», … влечёт…»	А® В	А=1, В=0, то А® В=0, в остальных случаях =1
Эквиваленция, двойная импликация (связки «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «…равносильно…»,	А~В;А«В	А=1, В=1® А~В=1 А=0, В=0® А~В=1 А=1, В=0® А~В=0 А=0, В=1® А~В=0

При анализе логических высказываний (как элементарных, так и составных) удобно пользоваться таблицами истинности – в них представлены результирующие значения составного высказывания при всех возможных сочетаниях значений элементарных высказываний, которые входят в составное.

Пример

Примеры анализа сложных логических формул с помощью таблиц истинности

1. Анализ логического высказывания А и не В и не А

Ответ: выражение тождественно ложно.

2. Анализ логического высказывания А и не А или В

Ответ: Значение выражения совпадает со значением В при любом А.

Также, как и для чисел, существуют законы, позволяющие производить тождественные преобразования сложных логических выражений к более понятному и удобному виду. Разобрать самостоятельно: [3] – стр. 119; [4] – стр. 136–138

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------