Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера описывает упругое поведение материала под нагрузкой. Это следует из того факта, что в нее входит модуль упругости Е.

Таким образом, применение формулы Эйлера ограничено предельным напряжением s_пц, т.е. лишь в тех случаях, когда потеря устойчивости наступает в упругой области деформирования материала:

.

Обозначая , где i_min – радиус инерции сечения, получим .

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня.

Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности, можно записать в виде

.

Для того чтобы выполнялось это условие, значение гибкости должно быть больше предельного значения

.

Как видно из формулы, зависит только от свойств материала и для каждого материала ее величина может быть вычислена (табл. 9.1). Для малоуглеродистой стали, имеющей МПа и Е=2,1× 10⁵ МПа, формулой Эйлера можно пользоваться при гибкости стержня большей, чем

.

Для других материалов значения предельных гибкостей сведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована (рис. 9.10).

,

где а и b – эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (табл. 9.1).

Величина критической силы F_кр определяется умножением критических напряжений на площадь поперечного сечения .

Для коротких стержней, гибкость которых l < l_т , где l_т – гибкость стержня, определенная из условия s_кр = s_т, потеря устойчивости не происходит и поэтому расчет на устойчивость не выполняют.