Потенциал свободного падения и его производные

Гравитационное поле Земли относится к классу потенциальных полей, т. е. таких, когда каждой точке пространства вокруг Земли (вне притягиваемых масс) можно по- ставить в соответствие некоторую непрерывную и имеющую непрерывные производ- ные функцию. Производные этой функции по направлениям, кроме того, равняются проекциям силы тяжести на эти направления. Такую функцию называют гравитаци- онным потенциалом W. Чтобы эта функция удовлетворяла определению потенциала и выражениям (2.4) и (2.7), ее принимают следующей:

dm w

W =G ×ò +

r2 .

(2.8)

V r 2

Из определения потенциала вытекает, что

¶W

¶s =g ×cos ( g , s) =gS

(2.9)

Следовательно, математически введенное понятие потенциала приобретает физи- ческую сущность, так как приращение потенциала dW—это работа по перемещению материальной точки на расстояние ds. При перемещении точки в направлении, перпен- дикулярном к направлению силы тяжести, cos (g, s)=0 и dW=0. После интегрирования получаем

W = const. (2.10)

Так как W является функцией координат х, у и r, полученное равенство есть уравнение некоторой поверхности, обладающей следующим свойством: в любой ее точке сила тяжести направлена перпендикулярно к ней. Такая поверхность называется уровенной или эквипотенциальной поверхностью. Различные значения const в урав- нении (2.10) соответствуют различным уровенным поверхностям. Уровенную поверх- ность, совпадающую со свободной невозмущенной поверхностью воды земных океа- нов, называют геоидом. Геоид по форме очень близок к эллипсоиду вращения с весьма малым (1/297 — 1/298,8) коэффициентом сжатия. Представляя форму Земли в виде эл- липсоида вращения малого сжатия, по теореме Клеро определяют теоретическое, нор- мальное значение ускорения силы тяжести γ0, которое в зависимости от широты на- блюдения φ принято выражать формулой

= g ( 1 + 0,005302 × sin2 j - 0,000007 × sin2 2j )

(2.11)

где gэ — среднее значение поля на экваторе Земли.

Это выражение позволяет рассчитать γ0 на поверхности геоида для любой точки наблюдения с известной широтой в предположении однородности внутреннего строе- ния Земли и отсутствия какого-либо нарушения идеальной (сферической) формы по- верхности Земли.

Из выражения (2.9) следует, что производная потенциала по отвесной линии есть полная составляющая силы тяжести:

¶W =g

¶z Z

= g.

(2.12)

Если выбрать прямоугольную систему координат, при которой ось Z направлена вертикально вниз, а ось Х по меридиану, то, дифференцируя выражение (2.12) по на- правлениям х, y и z, получаем

¶g =

¶x

¶ 2W

¶x ¶z

= WX Z ,

¶g =

¶y

¶ 2W

¶y ¶z

= WY Z ,

¶g =

¶z

¶ 2W

¶z2

=WZ Z

(2.13)

Этими формулами определяются скорости изменения или градиенты g вдоль оп- ределенных направлений х, у и z. Существуют также и другие вторые производные по- тенциала:

WXX

¶2W

= ,

¶x 2

WYY =

¶2W

,

¶y 2

WXY =

¶2W

.

¶x ¶y

(2.14)

С помощью вторых производных (2.14) можно установить форму уровенной по-

верхности (геоида), изучаемой в геодезической гравиметрии.

Размерность вторых производных потенциала силы тяжести определяется отно- шением приращения силы тяжести к расстоянию, т. е. [м·с -2·м -1]=[с -2]. В качестве практической единицы измерения вторых производных в гравиразведке принята вели- чина 10 -9 с -2, получившая название этвеша (Э) и соответствующая изменению силы тяжести 0,1·10 -5 м·с -2 или 0,1 мГал на 1 км. Для усредненных параметров Земли в зави- симости от широты точки наблюдения по специальным формулам рассчитывают нор- мальные значения вторых производных потенциала силы тяжести.