СВОЙСТВА

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ И ИХ ЧАСТОТНЫЕ

1.1. Четырехполюсник

Полюсомназывают вывод (контакт, клемму, зажим) электрической цепи, к которому что-либо подключается (источник сигнала, нагрузка, другая цепь). Электрические цепи классифицируют по числу полюсов на:

- двухполюсники (сопротивление, индуктивность, емкость, идеальные и реальные источники сигнала, полупроводниковый диод);

- трехполюсники (например, трехфазный источник напряжения без нейтрали, трехфазная нагрузка при соединении «треугольником» на рис. 1.1, биполярный транзистор);

- четырехполюсники (усилители сигналов, фильтры).

Значительно реже возникают цепи с большим числом полюсов.

Рис. 1.1

Четырехполюсникомназывают электрическую цепь с четырьмя полюсами, разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как показано на рис. 1.2. Входные полюсы обычно изображаются сле-

Рис. 1.2 ва и имеют индекс 1, а вы-

ходные – справа с индексом 2. Входной и выходной токи чаще всего обозначают втекающими в четырехполюсник.

Различают линейные (содержащие только линейные элементы) и нелинейные (в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент) четырехполюсники (рис.1.3).

Рис. 1.3

Свойства линейных четырехполюсников рассматривают при гармоническихвоздействиях (это простые сигналы, расчет которых удобно проводить методом комплексных амплитуд).

В линейном четырехполюснике при гармоническом воздействии все токи и напряжения являются также гармоническими с той же частотой, а их амплитуды и начальные фазы зависят от частоты воздействия. В этом случае свойства цепи описывают частотными характеристиками – зависимостями от частоты входного сигнала различных характеристик, например:

- входного и выходного сопротивлений или проводимостей;

- коэффициентов передачи или обратной связи по току или напряжению;

- коэффициента передачи мощности;

- сопротивлений (проводимостей) прямой передачи или обратной связи.

1.2 Входное и выходное сопротивления

четырехполюсника

В качестве частотных характеристик рассматриваются входное и выходное сопротивления как функция частоты сигнала. По определению при заданном сопротивлении нагрузки четырехполюсника , подключенной к его выходу,

. (1.1)

Выходное сопротивление определяется при известном внутреннем сопротивлении источника входного сигнала ,

. (1.2)

Знание этих характеристик необходимо при анализе возможностей подключения к четырехполюснику реального источника сигнала и нагрузки.

Рассмотрим четырехполюсник с подключенными к нему реальным источником напряжения с внутренним сопротивлением и нагрузкой , как показано на рис. 1.4.

Рис.1.4

Эквивалентная схема вход-ной цепи четырехполюсника показана на рис. 1.5, где - входное сопротивление четырехполюсника. Если необходимо обеспечить максимум амплитуды входного напряже- Рис. 1.5

ния , то по закону Ома полу-

чим

. (1.3)

Представляя и , можно записать

. (1.4)

Для идеального источника напряжения и входное напряжение равно ЭДС источника. Если обеспечить условие максимума по ,

, (1.5)

то из (1.4) следует

. (1.6)

и при условии входное напряжение четырехполюсника станет больше ЭДС источника сигнала.

Это обусловлено резонансными явлениями во входной цепи, которые будут рассматриваться в дальнейшем.

Для обеспечения максимума мощности , потребляемой четырехполюсником от источника сигнала, из общего выражения

, (1.7)

где - комплексно сопряженная амплитуда входного тока, получим

, (1.8)

где - комплексно-сопряженная ЭДС источника, а - оператор вычисления реальной части числа. С учетом того, что произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату их модуля,

, (1.9)

в результате получим

. (1.10)

Из полученного выражения нетрудно получить условие максимума потребляемой четырехполюсником (рис. 3.6) мощности (условие согласования источника сигнала с четырехполюсником),

(1.11)

Аналогичный анализ можно провести и для выходной цепи четырехполюсника. В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике напряжения (повторите этот материал) эквивалентная схема выходной цепи схемы рис. 1.4 имеет вид, показанный на рис. 1.6а, где и - эквивалентные ЭДС и внутреннее сопротивление активного двухполюсника, показанного на рис. 1.6б, а .

Рис. 1.6

Мощность в нагрузке аналогично (1.10) равна

, (1.12)

где и . В результате нетрудно получить условие передачи максимума мощности от источника сигнала через четырехполюсник в нагрузку (условие согласования четырехполюсника с нагрузкой),

(1.13)

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 1.7, в состав которой входят источник входного сигнала (реальный источник гармонического напряжения с комплексной амплитудой , внутренним сопротивлением и частотой ), RC - четырехполюсник и нагрузка .

Рис. 1.7

Схема цепи для определения входного сопротивления нагруженного четырехполюсника показана на рис. 1.8. Величина определяется выражением

.

Рис. 1.8

При активной нагрузке , умножая числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженный множитель, получим

,

модуль входного сопротивления равен

,

а активную и реактивную составляющие можно записать в виде

,

.

На рис. 1.9 приведены зависимости от частоты модуля и активной составляющей входного сопротивления четырехполюсника при кОм и нФ.

Рис. 1.9

На рис. 1.10 показана зависимость от частоты реактивной составляющей входного сопротивления четырехполюсника.

Рис. 1.10

Как видно, входное сопротивление четырехполюсника существенно изменяется в выбранном диапазоне частот и имеет емкостный характер. Модуль и активная составляющая сопротивления уменьшаются с ростом частоты от значения при до на бесконечной частоте (на высоких частотах емкость шунтирует нагрузку).

Рассмотрим, каким должно быть внутреннее сопротивление источника сигнала, чтобы обеспечить передачу максимума мощность в четырехполюсник на частоте рад/с.

В этом случае входное сопротивление четырехполюсника равно Ом. Тогда в соответствии с (1.11) источник сигнала должен иметь внутреннее сопротивление равным Ом. Характер трехмерной зависимости мощности от активной и реактивной составляющих входного сопротивления четырехполюсника в соответствии с (1.10) при В показан на рис. 1.11. Максимум имеет место при условии (1.11).

Рис. 1.11

Подставляя в (1.10) выражения для активной и реактивной составляющих для цепи рис. 1.7, получим зависимость потребляемой четырехполюсником мощности от частоты сигнала. Она показана на рис. 1.12 при В и Ом.

Рис. 1.12

Как видно, на частоте рад/с, когда Ом и выполняется условие согласования (1.11), имеет место максимум потребляемой четырехполюсником мощности.

Рассмотрим выходное сопротивление четырехполюсника рис. 1.7, для этого рассмотрим цепь на рис. 1.13а. В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике ее можно заменить эквивалентным реальным источником напряжения, показанным на рис. 1.13б. Эквивалентная ЭДС равна напряжению холостого хода цепи рис. 1.13а, , а эквивалентное сопротивление равно сопротивлению цепи рис. 1.13а при выключенном источнике, как показано на рис. 1.14. Сопротивление и есть внутреннее сопротивление четырехполюсника.

Рис. 1.13

Для цепей на рис. 1.13а и рис. 1.14 нетрудно получить параметры эквивалентного источника рис. 1.13б. Его ЭДС и внутреннее сопротивление равны

,

.

Рис. 1.14

На рис. 1.15 показана программа MathCAD для расчета значений выходного сопротивления , на рис. 1.16 приведены зависимости от частоты модуля и аргумента , а на рис. 1.17 – его активной и реактивной составляющих при кОм, кОм и нФ.

Рис. 1.15

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Как видно, модуль выходного сопротивления максимален на постоянном токе и быстро падает с ростом частоты. Выходное сопротивление всегда имеет емкостный характер. На частоте рад/с Ом и Ом.

Для обеспечения максимальной мощности в нагрузке ее сопротивление должно удовлетворять условию (1.13). Проведите самостоятельно анализ, аналогичный показанному на рис. 1.11.

1.3. Комплексный коэффициент передачи

Комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется выражением

, (1.14)

аналогично вводятся в рассмотрение комплексный коэффициент передачи тока

(1.15)

и коэффициент (не комплексный) передачи мощности

, (1.16)

где - мощность, потребляемая четырехполюсником, а - мощность, передаваемая в нагрузку. Для расчета коэффициентов передачи необходимо при заданном источнике входного сигнала определить комплексные амплитуды входного и выходного напряжений, токов или мощностей.

В качестве примера рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 1.12, и определим его комплексный коэффициент передачи напряжения вида (1.14).

Подключим на вход четырехполюс- Рис. 1.18

полюсника идеальный

источник напряжения с ЭДС , как показано на рис. 1.13, и воспользуемся методом узловых напряжений. В цепи имеется два узла и необходимо определить единственное узловое напряжение . Выражая через токи ветвей и используя первый закон Кирхгофа, получим уравнение метода узловых напряжений:

Рис. 1.19

После алгебраических преобразований получим

.

Тогда по Закону Ома можно определить выходное напряжение

.

Подставляя выражение для , с учетом получим

.

Тогда комплексный коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению равен

.

Как видно, - комплексная функция частоты сигнала,

ее называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ). Графически она отображается линией в трехмерном пространстве (ось и две оси для отображения комплексного числа), что неудобно практически.

На плоскости КЧХ изображается в виде годографа. Для его построения заданный интервал частот разбивается с равномерным шагом, для каждого значения частоты вычисляются и отображаются на комплексной плоскости по осям абсцисс и ординат соответственно действительная и мнимая составляющие комплексного коэффициента передачи.

Пример годографа КЧХ цепи на рис. 1.18 при кОм, мГн и нФ показан на рис. 1.20. Стрелка показывает направление увеличения частоты входного сигнала. На частоте

величина действительна, а точка годографа расположена на оси абсцисс.

Рис. 1.20

1.4. Амплитудно-частотная и фазочастотная

характеристики четырехполюсника

Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника можно представить в показательной форме,

, (1.17)

где - его модуль, а - аргумент.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представляет собой зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты. Она представляет собой отношение амплитуд или действующих значенийвыходного сигнала к входному.