Применим к (5.19) выражение (5.7), тогда

. (5.20)

Коэффициент

[вар] (5.21)

называется реактивной мощностью, обозначается Q и измеряется в вольт-амперах реактивных [вар].

Теперь общее выражение для мгновенной мощности всей цепи

(рис.4.1) можно записать в виде

. (5.22)

Второе и третье слагаемые в (5.22) свернем как косинус суммы двух аргументов –cos(2ωt+φ). Тогда выражение (5.22) приходит к виду

. (5.23)

Таким образом, мгновенная мощность цепи содержит постоянную и переменную составляющие. Переменная составляющая мгновенной мощности изменяется относительно постоянной с удвоенной частотой (рис. 5.4). Графики рис. 5.4 иллюстрируют фазовые соотношения между мгновенными значениями тока i(t), напряжения u(t) и мощности p(t). Амплитудное значение переменной составляющей в (5.23) обозначают S и называют полной мощностью цепи:

[ВА]. (5.24)

Полная мощность в cosφ раз превышает постоянную составляющую (активную мощность). Поэтому график мгновенной мощности заходит в

область отрицательных значений. Величина области отрицательных значений определяется коэффициентом мощности. Физически эта область определяет моменты времени, в которые цепь возвращает энергию источнику.

Следует учитывать тот факт, что полная и активная мощности явля-ются арифметическими величинами, а реактивная мощность – величина алгебраическая. Когда индуктивное сопротивление цепи по абсолютной величине больше емкостного, разность фаз между током и напряжением положительна – φ > 0. Поэтому Q = U ∙ I ∙ sinφ >0.

Когда большей оказывается величина емкостного сопротивления, реактивная мощность становится отрицательной. Именно такой вариант соотношения реактивных сопротивлений в цепи рис. 4.1 отражают графики рис. 5.4. Они рассчитаны для следующих значений величин: i(t) = 2 ∙ sin(314 ∙ t), R = 5 Ом, L = 0,5 Гн, С = 20 мкФ.

Если умножить все стороны треугольника сопротивлений (рис.4.2) на , то получим треугольник мощностей (рис.5.5). В этом треугольнике гипотенуза эквивалентна полной мощности – S, прилежащей к острому углу катет – активной мощности Р, а противолежащий – реактивной мощности Q. Угол φ определяется сдвигом фаз между током и напряжением цепи и задает значение коэффициента мощности. Для треугольника очевидны соотношения:

(5.25)

(5.26)

Полная мощность S – это теоретически достижимая, расчетная

мощность, По значению S производятся расчеты сечения проводов, изоляция, параметры приемников электрической энергии. Из-за сдвига фаз φ мощность полностью не реализуется. Поэтому cosφ и получил название коэффициента мощности. Значение коэффициента мощности всегда стремятся обеспечить достаточно большим.

3. ВЫРАЖЕНИЕ МОЩНОСТИ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Широкое применение комплексного представления тока и напряжения в процессе анализа электрических цепей предполагает найти комплексное представление для активной, реактивной и полной мощности. На первый взгляд, эта задача не должна вызывать затруднений. Достаточно в выражение для мощности подставить комплексные значения тока и напряжения. Посмотрим, так ли это?

Пусть заданы комплексные ток и напряжение . Тогда их произведение должно представлять комплексную форму полной мощности цепи:

Правая часть полученного выражения должна определять активную (действительную часть) и реактивную (мнимую часть) мощности. Но слагаемые правой части не соответствуют выражениям (5.15) и (5.21), так как в последних сдвиг фаз определяется разностью

φ = φ₁ – φ₂.

Чтобы устранить такое несоответствие, пользуются искусственным приемом. Под комплексным изображением полной мощности понимают произведение комплексного напряжения на комплексно-сопряженный ток. Напомним, что два комплексных числа и называются взаимно сопря-женными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только

знаком. Например,

При таком определении комплексная мощность цепи определится таким выражением:

Применим действующие значения тока и напряжения. Тогда выражение для комплексной мощности принимает вид:

(5.27)

Знак «тильда» означает комплекс полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса тока. Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность, а мнимая часть - реактивная мощность. Модуль комплексного представления определяет полную мощность.

Рассмотрим пример.

Пусть в схеме рис. 5.6 заданы Э.Д.С. – e(t) = 141∙sin(ω∙t) [B] и параметры элементов: R₁=3 Ом; R₂=2 Ом; L=0,0095 Гн; .

Определить активную, реактивную и полную мощности цепи.

Решение:

1. Определяем значение действующего напряжения на входе всей схемы в комплексной форме:

2. Определяем сопротивление цепи в комплексной алгебраической форме:

3. Переходим к показательной форме комплексного сопротивления. Для этого:

а) находим модуль

б) фазу

в) общее выражение

4. Вычисляем значение действующего тока в показательной комплексной форме:

Сопряженный комплекс тока:

.

5. Переходим к определению мощности в комплексной форме:

Отсюда

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

5.1. Что характеризует мгновенная мощность цепи?

5.2. Приведите соотношения для активной мощности цепи. Может ли активная мощность принимать отрицательные значения?

5.3. Приведите соотношения для реактивной мощности цепи. Какой физический процесс характеризует реактивная мощность? Может ли она принимать отрицательные значения?

5.4. Что определяет коэффициент мощности цепи? Почему его стремятся повысить?

5.5. Может ли мгновенная мощность цепи принимать отрицательные значения?

5.6. Приведите соотношения между полной, активной и реактивной мощностью цепи.

5.7. Приведите комплексное изображение полной мощности.

5.8. Определите комплексное изображение полной мощности для цепи рис. 4.1, используя данные задач 4.6 и 4.7.