Реология реальных сред

Типичный реологический процесс – это сравнительно медленное течение вещества, в котором обнаруживаются упругие, пластические или высокоэластические свойства.

Реологические явления проявляются во многих природных процессах и в большом числе технологических. Очень многочисленны вещества, участвующие в таких процессах: это породы, составляющие земную кору, магма, вулканическая лава, это нефть и глинистые растворы, играющие важнейшую роль в добыче нефти; влажная глина, цементная паста, бетон и асфальтобетон (смесь асфальта и песка, которой покрывают тротуар), это масляные краски – смесь масла и частиц пигмента; это растворы и расплавы полимеров в процессе изготовления нитей, пленок, труб путем экструзии; наконец, это – хлебное тесто и тестообразные массы, из которых изготовляют конфеты, сосиски, кремы, мази, зубные пасты, это твердое топливо для ракет; это, наконец, белковые тела, например, мышечные ткани. В этот не полный перечень «реологических» сред входят как тела, которые естественно считать твердыми (бетон), так и жидкие – нефть. Еще один опыт можно провести с высокомолекулярным раствором полиэтиленоксида в воде. Если, наклонив стакан А, начать переливать из него раствор в нижний стакан Б (рис. 1), а потом аккуратно вернуть стакан А на место, то окажется, что тонкая струйка раствора продолжает перетекать из верхнего стакана в нижний: интересно, что эта струйка сначала поднимается вверх по вертикальной стенке стакана А, а затем, переливается через край и стекает вниз, в стакан Б – это своеобразный сифон, но без сифонной трубки.

Рис.1

Совсем простой опыт невольно ставит тот, кто испачкал пальцы смолой, резиновым клеем или густым сахарным сиропом: попытка разлепить пальцы приводит к образованию упругих нитей, которые вытягиваются из текучей среды. Именно так образуется паутина и шелковая нить.

Реология позволяет понять, что при быстрых воздействиях все тела ведут себя как твердые, при медленных – текут. Но понятия «быстрый» и «медленный» для разных сред различны. Удар о воду на скорости 200 км/час мало чем отличается от удара об асфальт – вода ведет себя как твердое тело (ее текучесть не успевает проявиться). Железобетонный столб, косо прислоненный к стене, через месяц оказывается кривым – бетон течет; струны на гитаре, оставленные в натянутом состоянии, снижают тон – в результате медленного течения материала их длина чуть-чуть увеличилась, соответственно, уменьшилось натяжение – их приходится подтягивать. Горные породы за геологические периоды сминаются в складки – образуются горные системы. Без вычислений ясно, что диапазон времен в реологических явлениях простирается от долей секунды до миллионов лет.

Итак, механические свойства разных реологических сред, во-первых, весьма разнообразны, и, во-вторых, оказываются существенно различными в зависимости от условий нагружения.

Очень многие реологические среды являются дисперсными системами двух или трех фаз: это мелкие твердые частицы, распределенные в вязкой жидкости (суспензия или гель, если твердая фаза преобладает), или это мелкие капельки одной жидкости в другой – эмульсия, или пузырьки воздуха в жидкости (пена), и т.д. Но, тем не менее, реология рассматривает такую среду как однородную, но обнаруживающую такие же механические свойства, как и те, что установлены в опытах с реальным конкретным материалом. Этот подход, характерный для механики сплошных сред, позволяет избежать трудностей, связанных с изучением механизмов взаимодействия фаз, и сравнительно просто описать основные черты поведения реологических сред при воздействии на них заданных нагрузок. Такие теории называются феноменологическими.

Математическая модель механических свойств данной среды задается уравнением, связывающим напряжения, имеющиеся в окрестности некоторой точки среды, и деформации, возникающие вследствие этого, причем в это уравнение могут входить и скорости напряжений и деформаций, т.е. их производные по времени, и интегралы по времени от напряжений или деформаций. Это уравнение называется реологическим уравнением состояния среды или ее определяющим соотношением, и играет роль, аналогичную роли уравнения состояния идеального газа, нужно только иметь в виду, что уравнение состояния газа гораздо точнее отражает свойства конкретного газа, чем реологическое уравнение – свойства некоторой вязко-упруго-текучей среды, что объясняется очевидной причиной – очень высокой сложностью тех сред, которые изучает реология.

Определяющее соотношение должно быть сформулировано как связь тензоров напряжений и деформаций на основе всех известных опытных данных, но сами опыты эту связь не устанавливают, а лишь показывают ее проявления в некоторых частных случаях.

Простой и наглядный способ построения реологического уравнения состояния состоит в том, что каждое основное свойство среды можно смоделировать подходящим элементом, то есть упругость – пружинкой, вязкость – поршнем в цилиндре с вязкой жидкостью, пластичность – элементом с сухим трением (рис. 2).

Рис. 2

Соединив тем или иным образом эти элементы, получают модель образца для механических испытаний, свойства которого в общих чертах можно определить теоретически. Это позволяет, изучив опыты с конкретным материалом, подобрать такое соединение элементов, чтобы обеспечить качественное соответствие реальным опытам, подбирая жесткость пружинки, вязкость масла в поршне, величину коэффициента сухого трения, можно добиться достаточно точного совпадения экспериментальных кривых и их модельного представления (если, конечно, структура модели правильно организована и достаточно богата для описания данного материала). Если модель из элементов построена, то написание математического соотношения производится по определенным правилам, причем сравнительно простым.

Модель, составленную из пружинок и поршеньков, можно только растягивать, но растяжению в модели могут соответствовать и сжатие, и сдвиг, и объемная деформация в натурной среде.

Можно построить модель вязко-упругого тела, последовательно соединив упругий и вязкий элементы (рис. 3).

Рис.3

Если эту систему быстро нагрузить (дернуть), то вязкий элемент не успеет сдвинуться с места и будет вести себя, как замороженный, а деформацию возьмет на себя пружина – и модель ведет себя как упругое тело. Наоборот, при медленном нагружении, например, при постоянной силе, к некоторой небольшой постоянной деформации пружины прибавляется в принципе неограниченно возрастающая деформация вязкого элемента, т.е. модель ведет себя как упругая жидкость, которую называют жидкостью Максвелла (а также телом или моделью Максвелла). Эта жидкость не подчиняется закону вязкости Ньютона и поэтому называется неньютоновской жидкостью.

Закон Гука применительно к пружине имеет вид

D_g = R/C

где D_g – упругое удлинение пружины, P – сила, C – жесткость пружины.

Для вязкой жидкости справедлив закон Ньютона, который применительно к перемещению поршня в цилиндре дает

здесь ∆_α – вязкое смещение поршня в цилиндре, M – коэффициент вязкого сопротивления.

Уравнение, описывающее зависимость удлинения модели (рис. 3) ∆ от величины силы получают, сложив упругое удлинение пружины D_g и вязкое удлинение системы «цилиндр-поршень» D_g; но поскольку скорость вязкого удлинения матрицы d∆_α / dt известна, то удобнее найти скорость удлинения модели d∆/dt по формуле

где, очевидно,

,

Таким образом, уравнение модели имеет вид:

Чтобы теперь перейти от модели к сплошной среде, удлинение ∆l заменяют деформацией ε, силу P – напряжением σ, жесткость C – модулем упругости G, а коэффициент вязкого сопротивления M – вязкостью жидкости μ, в результате получается определяющее реологическое уравнение среды Максвелла в виде:

(точка означает производную по времени). Если задано напряжение как функция времени, σ=f(t), то скорость деформации легко находится по формуле

Если же деформация задана как функция времени, то реологическое уравнение Максвелла представляет собой дифференциальное уравнение относительно τ, решение которого имеет вид

(здесь τ_0 – начальное напряжение при t = 0, а величина называется временем релаксации). Пусть в начальный момент к образцу прикладывается усилие, вызывающее напряжение σ_0; при этом в образце возникает деформация ε_0. Если эту деформацию , то напряжение τ, согласно (2), убывает соподдерживать постоянной, (ε=0) временем экспоненциально, т.е.

s = s₀ е ^–t/T

и за время T уменьшается в e раз, (e » 2,71828 – – основание натуральных логарифмов). Таким образом, время релаксации T характеризует скорость убывания напряжений в const, который называется процессом релаксации.описанном процессе при ε=

Реологическое уравнение Максвелла пригодно для качественного описания процессов в стекловидных и полимерных материалах. Для хорошего количественного описания используются более сложные модели.

Выражение для σ=f(t) содержит интеграл по времени от начала процесса до текущего момента; поэтому значение напряжения σ в момент t зависит от значений ε во все предшествующие моменты от 0 до t, поэтому такие модели называют «материалами с памятью».

Для описания реологических свойств суглинка, имеющего структуру геля, в котором частицы песка соединяются цепочками коллоидных частиц глины, а промежутки заполнены водой, Кельвин предложил схему, в которой упругий и вязкий элементы соединены параллельно, т.е. так, что их деформации одинаковы (рис. 4).

Рис. 4

Соответствующее реологическое уравнение получается аналогично тому, как это сделано для среды Максвелла, но с учетом того, что в модели Кельвина одинаковы деформации элементов, а общее напряжение получается суммированием напряжений в вязком и упругом элементах:

s = Ge + me

Анализ показывает, что среда Кельвина является твердым телом, похожим на губку, пропитанную вязкой жидкостью.

Примером более сложной модели является среда Бингама, модель которой представлена на рис. 4. Если увеличивать силу P, то сначала деформируется только пружина; затем, при определенном значении силы P, преодолевается сила трения бруска о поверхность и начинается его движение, сопротивление которому оказывает не только трение, но и вязкое сопротивление поршня в цилиндре (рис. 5).

Рис.5

Считается, что реология началась именно с этой модели, не укладывающейся в рамки взаимодействия классических сред – упругого тела и вязкой жидкости. Среда Бингама была введена для описания поведения свежей масляной краски, когда было установлено, что она является пластическим твердым телом, а не вязкой жидкостью.

Реологические модели, получаемые путем комбинирования основных элементов (упругость, вязкость, трение) качественно описывают поведение под нагрузкой реальных сред, но наблюдаются при этом значительные количественные отклонения. Но известны эффекты, для описания которых в настоящее время еще не создана удовлетворительная теория. В первую очередь, это так называемый эффект Вайсенберга. Он проявляется, в частности, в следующем опыте (рис. 6): Пусть есть два одинаковых стакана – один с ньютоновской вязкой жидкостью, например, с растительным маслом, другой – с концентрированным раствором высокополимерного вещества (например, сладкого сгущенного молока); оба стакана приводятся во вращение вокруг своих осей. Сверху в стаканы опущены неподвижные круглые стержни. В стакане с маслом видна ожидаемая картина – жидкость принимает форму тела вращения с параболической поверхностью, вертикальная координата которой возрастает с удалением от центра. Но в другом стакане жидкость начнет медленно подниматься по центральному неподвижному стержню, в результате чего уровень поверхности у оси оказывается выше, чем у краев.

Рис.6

Не менее интересен и «эффект Томса». В 1940-х многие исследователи замечали, что течение жидкости по трубопроводу сильно облегчается (снижается гидравлическое сопротивление), если в низкомолекулярную жидкость добавить очень малое (доли процента) количество растворимого полимера. Оказалось, что можно достигнуть четырехкратного снижения гидравлического сопротивления воды в трубе, добавляя несколько миллионных долей (по весу) подходящего высокомолекулярного вещества. Этот эффект используется в некоторых нефтепроводах, пожарных шлангах; есть исследования по снижению кровяного давления у животных.

Изучение реальных сред со сложными свойствами не обязательно относят к реологии: теория неньютоновской жидкостей, теория вязкоупругости и вязкопластичности, теория ползучести металлов при высоких температурах, механика природных процессов – это самостоятельные научные направления, с которыми связаны многие важнейшие достижения как в области теории, так и в области практики – от медицины до космоса, от снежных лавин до дрейфа континентов.