Разрывы обобщённых функций ведут к дельта функциям в производных.

Пример 3Найти производную обобщённой функции .

Здесь мы и встречаемся с необходимостью регуляризации расходящегося интеграла.

Вставка: Регуляризация расходящегося интеграла.

Пусть f(x) – функция, локально интегрируемая всюду, кроме т. x₀, в которой имеется неинтегрируемая особенность (например, на оси). Тогда, интеграл

(40),

где - основная функция, вообще говоря, расходится. Но он сходится, если равна нулю в окрестности т. x₀. Если можно доопределить, возникающий при этом функционал, который на основные функции действует по формуле (40), то такой функционал f называется регуляризацией расходящегося интеграла (40) (или регуляризацией функции f(x)).

Так, для , можно положить:

с любыми a > 0 и b > 0.