Особенности анализа статистического материала

Различают параметрическую и непараметрическую математическую статистики. Параметрическая статистика строится на основании параметров данной совокупности, на­пример, средней арифметической X и среднем квадратическом отклонении а. Непараметрическая - на вариантах и частотах их встречаемости у данной выборки.

Большинство методов математической статистики раз­работаны для нормального закона распределения изучаемых показателей. В случае отклонения от нормального закона, при­менение обычных методов приводит к грубым ошибкам и вы­водам. Поэтому при наличии, в частности, асимметрии в рас­пределении признака выполняют математическое преобразо­вание исходных данных (например, возведение в какую-либо степень), с последующей проверкой полученных данных на нормальность распределения.

Применение методов для проверки статистических ги­потез о достоверности различий между выборочными парамет­рами (X и а) требует предварительной проверки изучаемых признаков на нормальность распределения. Такими методами являются дисперсионный анализ, Т- критерий Стьюдента.

Основные статистические характеристики вычисляются по следующим формулам:

- средняя арифметическая
X=I Vi/n ,

где Vi - значение i-ой варианты, п - количество вариант;

- средняя квадратическая
o-²=(I(X-Vi)²)/ (n-1)

Для быстрых предварительных расчетов можно вос­пользоваться другой формулой (Н.А.Толоконцев, 1961):

О» (Vmax - Vmin)/K,

где Vmax - наибольшее значение из вариант, Vmin - наимень­шее значение из вариант, К - коэффициент из таблицы 1.

Таблица 1

Коэффициенты К для вычисления среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационного ряда

- ошибка средней арифметический: m = б/V п;

- ошибка разности между средними:
tp=(X₁-X₂)/V(m₁²+m₂²)

при числе степеней свободы С=П!+п+2.

Таблица 2

Величина tst при заданной (0.05) вероятности распределения Стьюдента

Высшим достижением эмпирического исследования является установление эмпирического закона, выраженного в аналитическом виде. Первым шагом на пути выявления эмпи­рического закона, суть которого связана с реально су­ществующей причинно-следственной связью, является вычис­ление коэффициента корреляции, а затем факторного и ре­грессионного анализа. Здесь надо заметить, что выборка долж­на формироваться методом расслоенного отбора. В этом слу­чае удается соблюсти следующие условия:

- независимые переменные представляют собой неслу­чайный набор чисел;

- случайные ошибки имеют нулевую среднюю и конеч­ную дисперсию, подчинены нормальному закону распределе­ния ;

- между независимыми переменными отсутствуют кор­реляция и автокорреляции.

Для определения независимости признаков полезно использовать факторный анализ, который позволяет снижать размерность описания взаимосвязей между признаками. Столбцы матрицы факторных весов содержат коэффициенты корреляции между фактором и признаком. Эта информация позволяет найти признаки, наиболее тесно связанные с данным фактором, т.е. между собой, а затем для любого из признаков найти независимые переменные для построения линейных уравнений множественной регрессии.

В работе В.М. Зациорского "Кибернетика, математика, спорт" (1970) приведена таблица результатов корреляционного анализа между достижениями в отдельных видах легкоатле­тического десятиборья, представленных в виде набранных оч­ков по отдельным видам многоборья. Эта корреляционная мат­рица была статистически обработана с помощью метода глав­ных факторов по Г.Харману (1972). Решение представлено в табл.3.

Таблица 3 Факторные веса (умножены на 100) по видам десятиборья

Как интерпретировать результат факторного анализа?

Выборка из 54 спортсменов была сформирована из участников Олимпийских игр 1952, 1956, 1960 гг. От олимпиа­ды к олимпиаде подготовленность многоборцев растет, поэтому выборку можно рассматривать как совокупность атлетов с примерно равной технической, но разным уровнем физической подготовленности. Все квалифицированные десятиборцы имеют схожее телосложение, которое характеризуется длиной тела выше среднего 180-190, длинными ногами, узким тазом, широ­кими плечами, равномерной гипертрофией мьшщ на верхних и нижних конечностях. Мышцы должны быть с преимуществен­ным содержанием быстрых мышечных волокон. Мышечная композиция наследуется, следовательно, уровень физической подготовленности десятиборцев определяется, прежде всего, силой (количеством миофибрилл в мышечных волокнах) мышц ног, рук, туловища, мышечной выносливостью (отношением массы митохондрий к массе миофибрилл в мышцах), размером сердца.

Эти теоретические умозаключения можно подтвердить в ходе анализа результатов факторного анализа (табл. 1). На­пример, высокие коэффициенты корреляции первого фактора с результатами в отдельных видах многоборья свидетельству­ют о том, что с ростом квалификации атлета увеличивается сила всех основных мышц. Исключение составляет результат в беге на 1500 м, который обусловлен другим фактором (в таб­лице - это 3-й фактор).

После устранения влияния первого фактора из общей дисперсии выборки выявляется второй фактор. Он имеет наи­высшие положительные коэффициенты корреляции (факторные нагрузки) с бегом на 400 м (48), 100 м (32) и 1500 м (19), отрицательно коррелирует с толканием ядра (-35), ме­танием диска (-32), метанием копья (30) и прыжком с шестом (-33); следовательно, локальная силовая выносливость мышц ног (относительно тяжелые ноги) способствует достижению высоких результатов во всех беговых дисциплинах, а избыточ­ная масса мышц нижних конечностей отрицательно связана с результатами в метаниях. Следует напомнить, что положи­тельный вклад силы мышц верхних и нижних конечностей уже был учтен в первом факторе.

Устранение влияния второго фактора на общую дис­персию выборки позволило выявить третий - аэробная подго­товленность (видимо, уровень потребления кислорода на ана­эробном пороге). Это умозаключение следует из наличия наи­высшего коэффициента корреляции третьего фактора с набранными очками в беге на 1500 м (36). Третий фактор поло­жительно коррелирует еще с результатом на 400 м (24).

После устранения влияния на общую дисперсию трех факторов, в оставшейся дисперсии основную долю составила дисперсия, приходящаяся на результат на 1500 м (-37), 400 м (29). Очевидно, что этот фактор связан с массой мышц верхне­го плечевого пояса. Интенсивная работа массивных рук в беге на 400 м способствует увеличению амплитуды изменения вы­соты общего центра массы тела, а, значит, длины шага. Мас­сивные руки в беге на 1500 м являются лишним грузом, интен­сивная их работа приведет к увеличению потребления кисло­рода, которого , как правило, не хватает для мышц ног.

Таким образом, по результатам факторного анализа можно предложить построить уравнение множественной ре­грессии для предсказания суммы очков:

Y= аО + al*Xl + а2 *Х2 + аЗ*ХЗ,

где XI - толкание ядра, Х2 - бег на 400 м, ХЗ - время бега на 1500 м.

С помощью такого уравнения можно предсказывать результат в сумме многоборья для спортсменов, относящихся к данной генеральной совокупности, т.е. для действующих деся­тиборцев высшей квалификации 1952-1960 гг. Применять такое уравнение для нашего времени уже нельзя, поскольку поменя­лись правила начисления очков за результаты в отдельных видах. Требуется повторить исследование.

Следует сделать еще одно замечание: интерпретация результатов факторного анализа может корректно выполнять­ся только на основе моделирования объектов - десятиборцев (в нашем случае - мысленного имитационного моделирования). Результат моделирования является лишь рабочей гипотезой, которую еще необходимо доказать прямыми исследованиями. Например, методами биомеханики можно доказать предполо­жение о важности интенсивной работы рук в беге на 400 м, а методами биоэнергетики - отрицательное влияние работы мышц рук на скорость бега. В случае использования прими­тивных моделей, интерпретация факторных решений приводит к порождению новых терминов, не имеющих глубокого обосно­вания, засоряющих науку.