Чистый прямой изгиб призматического бруса

 

Задаются следующие условия: 1) волокна, параллельные оси бруса, испытывают равномерное растяжение или сжатие, перемен­ное по высоте сечения; 2) деформации сдвига, касательные напря­жения, поперечные силы и крутящий момент равны нулю; 3) сече­ния, плоские и нормальные к оси бруса до изгиба, остаются и после изгиба плоскими и нормальными к изогнутой оси бруса (ги­потеза плоских сечений); следовательно, все волокна имеют об­щий взаимный угол поворота поперечных сечений и общий центр кривизны (рис.10.3); dv/dx = kx = const, хотя точные значения кривизны 1/ρ дуг концентрических окружностей неодинаковы; 4) физический закон − закон Гука для одноосного напряженного состояния; 5) из трех внутренних усилий, связанных с нормальны­ми напряжениями, задана величина Mz; N = 0; My = 0.

Для определения характеристик изогнутого бруса kх, εх, σх и u имеем следующие зависимости:

 

kх= d2v / dx2, kx= –∂εх / ∂y, σх=Eεх.

За основное неизвестное принимаем kх. Так как εх функция одной переменной у, то

kx= – dεх / dy .

Следовательно,

 

Совместим границу между растянутыми и сжатыми волокнами (нейтральный слой) с координатной плоскостью у = 0, т.е. поло­жим εх= 0 при у = 0. В таком случае С = 0 и

εх = –kxy.

Согласно физическому закону

σх = –Ekxy.

В результате подстановки σх в интегральные формулы для внутренних усилий получаем

 

В правой части третьей формулы принят плюс, так как в данном случае изгибающий момент и кривизна имеют одинаковые знаки.

В первой формуле интеграл выражает статический момент площади сечения относительно оси z. Равенство его нулю свидетельствует о том, что ось z, в точках которой εх = 0, про­ходит через центр тяжести сечения. Согласно физическому закону на этой оси σх = 0. Следовательно, ось z есть линия нулевых на­пряжений при изгибе в плоскости ху. Она называется нейтральной осью сечения (нулевой линией). По обе стороны от нее нормаль­ные напряжения имеют противоположные знаки и нарастают по еди­ному линейному закону, образуя зоны растяжения и сжатия.

Во второй формуле интеграл выражает центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z. Равенство его нулю свидетельствует о том, что оси у и z – главные оси инер­ции сечения.

Таким образом, определение оси z как главной центральной оси инерции сечения вносит ясность в расположение нейтрального слоя, который был совмещен с координатной плоскостью у = 0, и в ориентацию плоскости действия момента Mz, перпендикулярной оси z и естественным образом проходящей через вторую главную ось – у (признак прямого изгиба).

Переписав третью интегральную формулу в виде

Mz = EkxIz,

где Iz осевой момент инерции площади сечения, находим

kx = Mz /(EIz).

Окончательные выражения деформаций и напряжений имеют следую­щий вид:

εх = – (Мzу)/(EIz) , σх = – (Мzу)/Iz.

Минус поставлен для согласования знаков линейной деформации (напряжения) и изгибающего момента. При у > 0 положительному мо­менту соответствует отрицательное значение деформации (напря­жения).

Пренебрежение влиянием поперечных деформаций εy = εz= – vεx на прогибы равносильно принятию для всех волокон прогибов, присущих нейтральному осевому волокну.

Приравнивая правые части kx=d2v/dx2и kхz/(EIz), по­лучаем дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:

d2v/dx2= Мz/(EIz).

Его интегралы:

 

 

При Мz= const и Iz= const получаем

 

С1, и С2 находятся из граничных условий для v и .

Следует обратить внимание на то, что волокно изгибается по параболе, а не по дуге окружности. Такой результат согласу­ется с исходным условием и является следствием использования не точного, а приближенного выражения кривизны изги­ба.

Анализ полученного решения приво­дит к следующим выводам:

1. Напряжения σх не меняют своего закона по длине бруса и являются функ­цией только координаты у. На торцах на основании статического граничного ус­ловия они трансформируются в распреде­ленную по закону пло-скости нагрузку Xp (рис.10.4), которая и соответствует

Рис.10.4 рассмотренной деформации чистого изгиба. Независи-мость σх от х справедлива при Iz= const. Таким образом, чистый изгиб возмо-жен лишь в случае призматического бруса.

2. Кривизна и деформация обратно пропорциональны величине ЕIz, называемой жесткостью при изгибе.








Дата добавления: 2015-05-28; просмотров: 878;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.