Кинетическая энергия материальной точки и механическая работа

Второй закон Ньютона устанавливает связь между ускорением материальной точки и действующими на нее силами. Однако в ряде случаев бывает удобно освободиться от ускорения. Это можно сделать путем совместного использования уравнений кинематики и второго закона Ньютона. При этом появляются две новые физические величины, имеющие большое значение: механическая работа и кинетическая энергия.

Пусть материальная точка движется прямолинейно с ускорением а под действием силы, направленной в сторону движения тела. Из кинематики известно, что при переходе тела из одной точки в другую выполняется соотношение

где v₂ и v₁ — конечная и начальная скорости тела; s — пройденный путь.

По второму закону Ньютона Подставив в формулу, получим:

Можно показать, что в общем случае, когда сила образует с направлением движения угол а, формула принимает вид (рис. 4.3):

Рис. 4.3.Изменение кинетической энергии тела под действием силы

Скалярная величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией тела:

(4.6)

Кинетическая энергия тела (от гр. kinetikos — приводящий в движение) — это энергия, которой тело обладает вследствие движения.

Скалярная величина, равная произведению силы, действующей на тело, на пройденный им путь и на косинус угла между направлением силы и направлением движения называется механической работой:

A = F·s·cos(α). (4.7)

Если на тело действует несколько сил (F_I, F_II ...), то полная работа равна сумме работ отдельных сил:

А = А_I+A_II+...

Подставив формулы (4.6 и 4.7) в соотношение (4.5), получим связь между работой равнодействующей силы и кинетической энергией материальной точки.

Изменение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех действующих на нее сил:

E_К2 - E_К1= А_I+A_II+... (4.8)

Здесь E_К2 и E_К1— кинетическая энергия тела в начальной и конечной точках траектории.

Это соотношение выполняется и в общем, случае, но работа вычисляется как интеграл от силы вдоль траектории движения от ее начальной точки (1) до конечной точки (2):

Работа силы может быть как положительной, так и отрицательной. Ее знак определяется величиной угла а. Если этот угол острый (сила направлена в сторону движения тела), то работа положительна. При тупом угле а работа отрицательна.

Если при движении точки угол α = 90° (сила направлена перпендикулярно вектору скорости), то работа равна нулю.

Пример

Пусть тело массой т, начальная скорость которого равна нулю, начинает двигаться по гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F, направленной вдоль нее. Кроме силы F, на тело будут действовать еще две силы (рис. 4.4):

• сила притяжения (F_пр), направленная вниз;

• реакция опоры (N), действующая со стороны плоскости и направленная перпендикулярно ей.

Рис. 4.4.Движение тела по гладкой плоскости

Требуется определить, какую скорость приобретет тело, пройдя путь s.

Применим к движению тела уравнение (4.8):

E_К2 - E_К1= А_f+A_пр+ А_f (4.10)

Начальная скорость равна нулю, поэтому Е_к1 = 0. Конечную скорость обозначим v. Тогда

Для силы F угол α = 0 и cos(α) = 1. Поэтому А_F = F·s. Для сил F_np и N угол α = 90° и соs(α) = 0. Поэтому их работы равны нулю. Подставив эти значения в (4.10), получим:

Отсюда найдем конечную скорость: