Пересечение поверхностей с прямой

Универсальным способом определения точек пересечения прямой с поверхностью является способ вспомогательных секущих плоскостей, суть которого заключается в следующем: чтобы определить точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо через прямую провести проецирующую плоскость, построить линию пересечения этой плоскости с поверхностью и отметить точки пересечения этой линии с прямой, которые и являются точками пересечения прямой с поверхностью.

П р и м е р 1. Построить точки пересечения поверхности вращения (тора) с прямой l (рис. 7.16).

Р е ш е н и е. Через проекцию прямой l₂ проводим фронтально проецирующую плоскость Σ и строим на П₁ проекцию линии пересечения этой плоскости с тором. Отмечаем точки пересечения этой линии с прямой l – М₁ и N₁. По принадлежности находим фронтальные проекции точек М₂N₂, определяем видимость этих точек и затем – всей прямой l.

Иногда рациональнее определять точки пересечения некоторых поверхностей с прямой с помощью преобразования комплексного чертежа.

П р и м е р 2. Построить пересечение сферы с прямой (рис. 7.17).

Р е ш е н и е. Через l₁ проводим горизонтально проецирующую плос-
кость t. Плоскость пересекает сферу по окружности t₁ с центром О. Параллельно плоскости окружности проводим ось П₁/П₄, из О₁ – линию связи перпендикулярно П₁/П₄, определяем О₄ и радиусом окружности проводим ее на П₄. Строим проекцию и отмечаем точки М₄ и N₄, которые являются точками пересечения прямой со сферой. По принадлежности, с учетом видимости, определяем проекции точек М₁, N₁ и М₂, N₂.

Рис. 7.16 Рис. 7.17

П р и м е р 3. Построить точки пересечения поверхности кругового цилиндра с прямой l (рис. 7.18).

Р е ш е н и е. Поверхность цилиндра можно представить в проецирующем положении, для чего достаточно заменить плоскость проекций П₁ на П₅. Построить проекции цилиндра и прямой, отметить точки М₅ и N₅, затем по принадлежности, с учетом видимости, – М₂, N₂, и М₁, N₁.

При построении точек пересечения прямой с эллиптическими цилиндрической или конической поверхностями целесообразно проводить вспомогательные плоскости через прямую параллельно образующим цилиндра или через вершину конуса соответственно. В этом случае плоскости пересекают эти поверхности по образующим; там, где эти образующие пересекают прямую, и находятся точки пересечения прямой с поверхностью. Образующие определятся при пересечении следа плоскости с основанием цилиндра (конуса).

П р и м е р 4. Определить точки пересечения прямой l с поверхностью наклонного эллиптического конуса (рис. 7.19).

Р е ш е н и е. Через две произвольные точки прямой 1, 2 и вершину
конуса S проводим прямые. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения следа плоскости и основания конуса проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М₁, N₁ и М₂, N₂, которые и являются точками пересечения прямой l и конуса.

П р и м е р 5. Определить точки пересечения прямой l с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис.7.20).

Р е ш е н и е. Через две произвольные точки прямой 1, 2 проводим прямые параллельно образующим цилиндра. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения горизонтального следа и основания цилиндра проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М₁, N₁, M₂, N₂, которые и являются точками пересечения прямой l и цилиндра.

Рис. 7.20