Теоретико-множественные методы

Теоретико-множественные представления базируются на понятиях множество, элементы множества, отношения на множествах.

Понятие множество относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым трудно дать определение. Это понятие содержательно эквивалентно понятиям "совокупность", "собрание", "ансамбль",- "коллекция", "семейство", "класс" и другим обобщающим понятиям.

Один из основоположников теории множеств Георг Кантор определял множество как "многое, мыслимое нами как единое".

Множества могут задаваться следующими способами:

1) списком, перечислением (интенсиональным путем); например,

где а_i А , - знак вхождения элементов в множество;

2) путем указания некоторого характеристического свойства А (экстенсионально). Например, "множество натуральных чисел", "множество рабочих данного завода", "множество планет солнечной системы", "множество А" и т. д.

В основе теоретико-множественных преобразований лежит принцип перехода от одного способа задания множества к другому:

Переход от интенсионального способа задания множества к экстенсиональному называют принципом свертывания.

В множестве могут быть выделены подмножества. Вхождение элементов в любое множество или подмножество описывается знаком принадлежит - , а вхождение подмножества в множество записывается В А. Это означает, что все элементы подмножества В являются одновременно элементами множества А (рис. 2.6):

Важным понятием является понятие пустое множество - множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента: D= .

При использовании теоретико-множественных представлений в соответствии с концепцией Кантора можно вводить любые отношения. При уточнении этих отношений применительно к множествам удобно пользоваться наглядными диаграммами Эйлера-Венна, примеры которых для операции объединения ( ), пересечения (& или ), дополнения (отрицания, обозначаемого знаком «-» над именем множества, либо знаком «» перед именем множества или его элемента) приведены в табл. 2.5.

Теории, развивавшиеся на базе теоретико-множественных представлений, первоначально использовали отношения, подобные функциям алгебры логики, и в первую очередь - бинарной алгебры логики Буля (приводимые ниже в табл. 2.6).

В большинстве работ теоретико-множественные представления излагаются на примере теории чисел, для развития которой достаточно основных элементарных отношений .

По мере приложения теоретико-множественных представлений к более сложным проблемам отношения начинают заимствоваться из математической лингвистики (которую теория множеств, в свою очередь, помогает развивать), а при отображении особо сложных проблемных ситуаций с неопределенностью формируемую или исследуемую систему отображают множествами с отношениями произвольного типа (так, например, при применении теоретико-множественных представлений в ситуационном моделировании используются отношения "быть над", "быть под". "находиться рядом" и т.п., которые допустимо обозначать в разрабатываемом на этой основе языке моделирования произвольными символами, удобными для ЛПР)

Особого внимания заслуживает преобразование множеств путем установления взаимоотношений между элементами разных исходных множеств.

Из двух или нескольких множеств можно сформировать путей установления отношений между элементами этих множеств новое множество. Это новое множество, как правило, следует рассматривать как множество, состоящее из принципиально новых элементов.

Например, объединяя элементы из множества "конденсаторы С" и множества "катушки индуктивности L", получим новое множество "колебательные контуры КК"(если, конечно, введенное отношение между исходными элементами отображает необходимые действия по объединению соответствующих выводов конденсаторов и катушек индуктивности). Аналогично можно отобразить процесс бракосочетания: из множеств "женихи Y" и "невесты G" в ЗАГСе путем соответствующей операции (процедуры регистрации брака) формируется множество «Семьи С», элементы которого c_x=<y_i r_k g_j>, где y_i Y, g_j G, r_k R, R, - множество взаимоотношений между людьми, имеющих принципиально новый смысл для общества.

При этом важно отметить, что не только установление какого-либо вида специальных отношений, как в этих приведенных примерах, но и формирование элементов нового множества путем простого "помещения рядом" элементов исходных множеств позволяет получать эффект появления нового смысла, что обеспечивается доосмыслением взаимоотношений человеком на основе его предшествующего опыта. Это важно при моделировании ситуаций с большой исходной неопределенностью, когда неизвестен характер взаимоотношений между элементами разных групп (подмножеств), выявленныхдля отображения системы, проблемной ситуации. Этот эффект будетиспользован в последующих главах при моделировании процесса структуризации целей (гл. 4), при морфологическом моделировании (гл. 7).

Важным понятием для освоения и использования теоретико-множественных представлений является понятие континуума (от латинского "continuum" - "непрерывный") - связного обобщающего множества (т. е. как бы единого непрерывного пространства), в рамках которого осуществляются операции над множествами (их изъятие, добавление новых, объединение, пересечение и т.п.).

Между теоретико-множественными описаниями разных систем или их частей можно устанавливать соответствия. Для характеристики сходства множеств (подмножеств) можно использовать понятия гомоморфизма, uзоморфизма, автоморфизма, отношения рефлексивности. симметричности, транзитивности, заимствованные теорией множеств из других разделов математики.

Использование теоретико-множественных представлений при моделировании систем позволяет организовать взаимодействие и взаимопонимание между специалистами различных областей знаний. С их помощью можно записать различные определения системы (что делалось в гл. 1) и выбрать из них то, которое в наибольшей степени отражает концепцию исследователей, проектировщиков.

Конкретная система при первоначальном описании может быть отображена теоретико-множественной формулой, включающей на боры различных элементов (например, А, В, С), отношений между ними (R), которые могут быть также разделены на подмножества (R₁, R₂, R₃ и т. д.), свойств элементов Q_a, Q_b, Q_c и свойств отношений Q_r; могут быть учтены множества входных воздействий X и выходных результатов Y:

Затем, по мере накопления сведений о системе, теоретико-множественная формула (2.10) может измениться и отразить взаимоотношения между группами множеств:

а в дальнейшем описание может уточняться: могут быть введены подмножества и отношения между ними и их элементами; деление на подмножества может быть повторено неоднократно, и таким об разом с помощью теоретико-множественных представлений может быть отображена многоуровневая структура; отношения могут быть уточнены в виде набора правил преобразования множеств или подмножеств.

Как уже было сказано выше, при использовании теоретико-множественных представлений в принципе можно вводить любые отношения. Однако при произвольных отношениях в формализованном с их помощью описании проблемной ситуации довольно быстро могут обнаружиться неразрешимые противоречия - парадоксы, апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множественными моделями таким же образом, как с классическими математическими соотношениями, и доверять достоверности получаемых результатов.

В качестве примеров парадоксов приводят обычно:

парадокс лжеца (нельзя дать положительного ответа на вопрос "Ты лжешь?");

парадокс парикмахера, которому отдано распоряжение "брить всех мужчин в полку, которые не бреются сами".

Действительно, если попытаться формально записать ситуацию парадокса парикмахера, то возникает неразрешимое противоречие: парикмахер X принадлежит множеству одновременно мужчин М1, которые не бреются сами и которых по распоряжению он обязан брить, н множеству тех мужчин M2, которые бреются сами и которых согласно распоряжению он брить не должен, и эта множества M1 и M2 не пересекаются и не входят друг в друга, т. е. должно иметь место: X "е" М1, -X "е" М2, M3 = M1 U M2 = 0 , что невозможно.

С примерами антиномий можно познакомиться, например, в популярной брошюре Н.Я. Виленкина [2.10], в которой наряду с известными парадоксами приводятся ситуации возможности получения при применении теоретико-множественных представлений «безразмерных гостиниц» лемовского героя Иона Тихого.

Примеры парадоксов легко можно найти во многих высказываниях неформализованного текста: например. "Ты должен сам любить меня" (если "должен", то "не сам"; если "сам" - то никому ничего "не должен".

На этом свойстве текстов основаны некоторые психологические тесты. Эта принципиальная особенность текстов не позволяет однозначно отразить с их по мощью проблемные ситуации и требует перевода текстов в формализованные описания с использованием специализированных знаковых систем, языков, в которых по возможности устранены парадоксы. Для разработки таких языков могут быть использованы теоретико-множественные представления, которые позволяют выявлять и устранять парадоксы, ограничивая при этом свободу выбора отношений, т. е., строго говоря, огрубляя качественное описание, уменьшая его полноту. Однако такие ограничения при применении теоретико-множественных представление можно делать осознанно, фиксировать и пересматривать при необходимости. При раз работке языков моделирования полезно ознакомиться с конструктивной теорией множеств.