Понятие о методах дискретной математики.

Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. Если же не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам.

В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием - методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения.

Характеризуемые ниже методы возникали как самостоятельные направления и первоначально развивались параллельно и независимо друг от друга. Но обобщающий аппарат теоретико-множественных представлений оказался настолько удобным средством пояснения основных понятий, а часто и доказательства теорем в математической логике, математической лингвистике и даже в теории графов, что постепенно все эти методы стали объединять в единую область - дискретную математику.

Необходимость в использовании методов дискретной математики возникает в тех случаях, когда алгоритм, который всегда в конечном итоге желательно получить для обеспечения повторяемости процесса принятия решения, не удается сразу представить с помощью аналитических или статистических методов. В этих случаях теоретико-множественные, логические, лингвистические или графические методы помогают зафиксировать в алгоритме опыт или эвристики ЛПР.

В принципе для отражения в алгоритме эвристик допустимы любые неформальные отображения. Однако такие эвристические алгоритмы широкого класса - от ГСП-алгоритмов (ГСН – «грубая сила и невежество») до «хитрых», «жадных» и т. п. алгоритмов (название их соответствует виду эвристики, определяющей способ борьбы с перебором при моделировании решения) - часто оказываются далеко неэффективными, а в ряде случаев не существует алгоритма, который позволил бы получить решение не только с наименьшей трудоемкостью, но и вообще в обозримые сроки. И здесь большую помощь в предварительной оценке реализуемости алгоритма, во введении некоторых формальных правил преобразования, позволяющих применить ЭВМ и ускорить получение решения, могут оказать методы дискретной математики.

Практики и инженеры не любят изучать процессы получения формул и методов, теоремы и тем более их доказательства. А книги по дискретной математике написаны, как правило, с использованием специфических символов и приемов, отличных от классической математики, к которым мы привыкли в школе и в традиционных курсах высшей математики для вузов. В специальных монографиях и даже в учебниках по теории множеств, математической логике и математической лингвистике обычно вводятся символика и правила преобразования и довольно длительное время рассматриваются возможности этих правил, доказываются соответствующие теоремы без иллюстрации практической потребности в них. В то же время при утилитарном подходе к математике знание доказательств ничего не добавляет к знанию результата: важно знать, что и зачем применять.

Поэтому для прикладных целей удобны справочные материалы, являющиеся как бы "выжимками" из обширной литературы по дискретной математике, что мы и пытаемся сделать ниже в форме таблиц, в которых собраны основные отношения теории множеств, функции и теоремы математической логики и т. д. В ряде случаев такие таблицы могут помочь в выборе метода моделирования и в более глубоком ознакомлении с соответствующим направлением дискретной математики.

Кроме того, в области управления, проектирования сложных технических и производственных комплексов все чаще главной проблемой становится создание принципиально новых, нетривиальных моделей, не по аналогии. В таких случаях математика нужна уже не для выбора готового метода расчета, а как средство мышления, формирования понятий.

Такое владение математикой, в том числе и дискретной, требует более глубокого понимания сути методов, умения оценить, какой из методов лучше подходит для формирования модели в конкретной ситуации. Поэтому, разумеется, излагаемое ниже следует рассматривать лишь как введение а сложный мир дискретной математики, которое имеет целью облегчить изучение специальной литературы.

Некоторые понятия даны несколько подробнее только для того, чтобы были поняты прикладные примеры в последующих главах, позволяющие проиллюстрировать возможность представления одной и той же задачи несколькими методами и помочь студентам понять проблему выбора методов моделирования сложных систем и проблемных ситуаций с начальной неопределенностью.

Изложенное поможет также несколько углубить сравнительный анализ МФПС, приведенный в табл. 2.1, которую следует перечитать после ознакомления с мате риалом данного раздела, а лучше - и с обращением к рекомендуемой литературе, на основе которой в учебном процессе и в рамках НИРС студентам целесообразно рекомендовать подготовить рефераты, обзоры литературы по рассматриваемым ниже направлениям дискретной математики.