Фрактальная геометрия природы

В XX веке был разработан теоретический язык, адекватно описывающий иерархические природные структуры, которые возникают в ходе эволюционного развития. Основное понятие этого языка — понятие фрактала.

Фракталы — детища сухой математики, но они настолько эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью компьютера, потрясла мир, а книга организаторов выставки, математиков Х. О. Пайтгена и П. Рихтера, «Красота фракталов» раскупается как художественный альбом.

Они упорядоченны, но это не упорядоченность монотонного орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.

Они геометричны, но это не геометрия идеалиста Платона, искавшего везде отполированные формы правильных многогранников, а геометрия реального мира — ветвистого, пористого, шершавого, зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя — математик Бенуа Мандельброт, — назвал свой главный труд: «Фрактальная геометрия природы» (1982).

Облака — не сферы, горы — не конусы, линии берегов — не окружности, и негладка древесная кора, и непрям путь молнии. (Б. Мандельброт)

Козьма Прутков писал: «Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы; фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных; фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф…

Основное свойство фракталов — самоподобие.

Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Рис. 4.13. Кривая Кох

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов, получится структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах, — бесконечная лестница вглубь.

Берем отрезок, и среднюю его треть переламываем под углом 60°. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной — и так

Рис. 4.14. Это не фотография папоротника, а фрактал

до бесконечности. В конце концов, мы получим простейший фрактал — триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.

Если проявить чуть больше изобретательности, и на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника — или даже целые их заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть ее очень симпатичным лесом. Большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют собой фракталы.

Рис. 4.16. Множество Мандельброта. Окрашенные точки соответствуют таким значениям c, что последовательность чисел z_n, стартуя с z₀ = 0, убегает на бесконечность (окраска точки зависит от быстроты убегания стартующей с нее последовательности)

Рис. 4.17. Берега множества Мандельброта.

Рис. 4.15. Поведение последовательности, генерируемой отображением x_i₊₁ = k× x_i×(1 – x_i), при разных k

Идея бесконечного повторения простой операции используется для порождения еще более изощренных и удивительных структур.

Возьмем какое-нибудь число x₀ от 0 до 1 и рассчитаем x₁ = k× x₀×(1 – x₀). Затем точно так же по x₁ вычислим x₂, по x₂ — x₃, и так далее. Если коэффициент k меньше 3, то последовательность чисел x_i быстро стремится к постоянному значению, в чем несложно убедиться. Если же взять k > 3, последовательность начинает метаться между двумя значениями, затем — четырьмя, восемью, и так далее, пока, наконец, при k > 3,6 ее поведение не станет совершенно беспорядочным — внешне. Но «если это и безумие, то в нем есть система», что хорошо видно на рис. 4.15, показывающем, какие значения могут принимать числа x_i в зависимости от k. Структура, проявляющаяся на рисунке, — тоже фрактал, но фрактал сложный, подобие частей которого целому не сводится к простому изменению масштаба.

Самые знаменитые фракталы — множества Жюлиа и Мандельброта — выращиваются повторением простой формулы z_n₊₁ = z_n² + c, где числа z_n и константа c считаются комплексными, то есть изображаются точками не на числовой прямой, а на плоскости. Если ваша математическая подготовка не включает знакомство с комплексными числами, вы можете возложить расчеты на компьютерную программу Fractal Explorer, а сами любоваться готовыми результатами.

Безмерно множество Мандельброта, и никто не сможет пройти все закоулочки и извивы его берегов. Причину тому можно понять, еще раз взглянув на кривую Кох: на каждом шаге изготовления длина ее увеличивается в 4/3 раза. Путешественник по этой кривой обнаружит, что между ее началом и концом укладывается бесконечное число звеньев, общая длина которых также бесконечна. «Берег» множества Мандельброта также имеет бесконечно сложную структуру, которая не сглаживается ни при каком самом сильном увеличении.

Самое удивительное, что таким же свойством обладают реальные берега земных морей. Еще в 1901 году английский географ Ричардсон обратил внимание, что длина береговой линии существенно зависит от масштаба карты, по которой измеряется. Чем крупномасштабнее карта, которой вы пользуетесь, тем более извилистым предстает берег, и с ростом подробности карты суммарный периметр всех его заливчиков и мысков растет бесконечно.

Все нормальные (то есть гладкие) линии, имеющие начало и конец, имеют и конечную длину. Если же длина кривой, соединяющей две точки, бесконечна, то эта кривая уже не совсем линия. Геометрия фракталов подтверждает: да, и кривая Кох, и берег множества Мандельброта, и побережья островов и континентов являются чем-то промежуточным между линией и лентой. За счет своей бесконечной извилистости они как бы приобретают дополнительное измерение. И природа не упускает шанса воспользоваться лишними измерениями.

Рис. 4.18. Фрактальная геометрия кровеносной системы

Например, давно известно, что частота дыхания у животных обратно пропорциональна корню четвертой степени из веса. Это обстоятельство ставило ученых в тупик: если считать, что объем кровеносной системы пропорционален весу, то есть третьей степени размеров тела, то и частота

хания должна изменяться как корень третьей степени из веса! Откуда же природа берет четверку?

Группа исследователей из университета Нью-Мексико предложила объяснение, основанное на идее о том, что эффективно устроенная кровеносная система должна максимально заполнять объем тела. А для этого она должна быть устроена фрактально, и объем такого фрактала оказывается пропорционален четвертой степени размеров. Четвертой, а не третьей! В своей статье в журнале Science авторы открытия пишут: «Хотя живые существа обитают в трехмерном пространстве, их внутренняя физиология и анатомия устроены так, как если бы они были четырехмерными… Фрактальная геометрия буквально

Рис. 4.19. Фрактальные траектории системы с динамическим хаосом

придает жизни дополнительное измерение».

Фракталы очень тесно связаны с динамическим хаосом (п. 3.4.3). Если динамическая система (например, метеорит в окрестностях двойной звезды или фондовый рынок) начинает вести себя хаотически, то ее траектории превращаются во фракталы: они имеют тонкую структуру в сколь угодно малом масштабе. Подобно береговой линии или кровеносной системе, эти фракталы нерегулярны, не подчинены требованию точного самоподобия. Тем не менее, один взгляд на них убеждает в их упорядоченности. Такое поведение хаотично, но «хаос» в данном случае означает не отсутствие порядка, а очень сложный и нетривиальный порядок, обладающий чрезвычайно тонкой структурой. Естественно ожидать, что в результате длительного эволюционного процесса должны возникать именно такие сложные формы поведения природных систем.

<87 88 899091 92 93 >

Дата добавления: 2015-01-13; просмотров: 1989;